Exercicis i problemes
Trigonometria: resolució de triangles i fórmules
Exercicis de les unitats 4 i 5, de menys a més dificultat, i quatre problemes competencials al final. Cada enunciat porta la seva solució plegada: intenta-ho primer sencer i obre-la només per comprovar.
Abans de començar:
- Comprova el mode de la calculadora: graus o radians, segons l'enunciat.
- Als problemes amb context, fes el dibuix abans de plantejar res.
- No arrodoneixis els passos intermedis; guarda els decimals fins al final.
- Comprova que el resultat és raonable: una torre no fa 2 metres ni 800.
- A · Raons
- B · Rectangles
- C · Altures
- D · Teoremes
- E · Cas ambigu
- F · Radians
- G · Fórmules
- H · Equacions
- I · Funcions
- Competencials
- 4 problemes
- 34 solucions plegades
U4 · Resolució de triangles 17 exercicis
A · Raons trigonomètriques i relacions fonamentals
A1
Sabent que sin α = 35 i que α és un angle agut, calcula cos α i tg α sense trobar l'angle.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteA2
Sabent que cos α = −513 i que α és del segon quadrant, calcula sin α i tg α.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteA3
Demostra la identitat:
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteA4
Simplifica l'expressió: (1 + tg²α) · cos²α + sin²α
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteB · Triangles rectangles
B1
Els catets d'un triangle rectangle fan 5 cm i 12 cm. Resol el triangle.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteB2
La hipotenusa d'un triangle rectangle fa 20 cm i un dels angles aguts és de 35°. Troba els dos catets i l'altre angle.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteB3
Un rombe té les diagonals de 16 cm i 12 cm. Calcula la longitud del costat i els angles del rombe.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteC · Altures i distàncies
C1
Des d'un punt situat a 40 m del peu d'una torre, la part superior es veu sota un angle d'elevació de 35°. Calcula l'altura de la torre.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteC2
Des d'un punt del terra, el cim d'un campanar es veu sota un angle de 30°. Avançant 50 m en línia recta cap al campanar, l'angle passa a ser de 45°. Quina altura té el campanar?
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteC3
Des del far d'un penya-segat de 200 m d'altura, un vaixell es veu sota un angle de depressió de 22°. A quina distància de la base del penya-segat es troba el vaixell?
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteD · Teorema dels sinus i del cosinus
D1
D'un triangle se sap que a = 10 cm, A = 45° i B = 60°. Resol el triangle.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteD2
D'un triangle se sap que b = 7 cm, c = 9 cm i que l'angle comprès entre ells és A = 52°. Calcula el tercer costat.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteD3
Els costats d'un triangle fan 6, 8 i 11 cm. Calcula l'angle més gran.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteD4
Calcula l'àrea d'un triangle de costats 13, 14 i 15 cm.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteD5
Un triangle té dos costats de 9 i 14 cm que formen un angle de 68°. Calcula'n l'àrea.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteE · El cas ambigu
E1
D'un triangle se sap que a = 8 cm, b = 10 cm i A = 40°. Quants triangles compleixen aquestes dades? Resol-los tots.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteE2
Existeix algun triangle amb a = 5 cm, b = 12 cm i A = 30°? Raona-ho.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteU5 · Fórmules i funcions trigonomètriques 13 exercicis
F · Radians, quadrants i reducció
F1
Expressa en radians: 135°, 210° i 300°. Expressa en graus: 5π6 i 7π4.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteF2
Calcula sense calculadora, reduint al primer quadrant: sin 150°, cos 225°, tg 300° i sin 330°.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteG · Fórmules trigonomètriques
G1
Calcula el valor exacte de sin 75° sense calculadora.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteG2
Sabent que sin a = 35 amb a del primer quadrant, calcula sin 2a, cos 2a i tg 2a.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteG3
Calcula el valor exacte de cos 15° fent servir la fórmula de l'angle meitat.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteG4
Demostra la identitat:
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteG5
Transforma en producte i simplifica:
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteH · Equacions trigonomètriques
H1
Resol 2 sin x − 1 = 0 a l'interval [0, 2π).
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteH2
Resol 2cos²x + cos x − 1 = 0 a [0, 2π).
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteH3
Resol sin 2x = sin x a [0, 2π).
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteH4
Resol cos 2x + 3 sin x = 2 a [0, 2π).
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteI · Funcions trigonomètriques
I1
De la funció y = 3 · sin(2x), indica'n l'amplitud, el període i el recorregut, i digues en quants punts talla l'eix d'abscisses a l'interval [0, 2π].
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteI2
Compara les gràfiques de y = cos x i de y = 2 · cos(x − π3) + 1. Quines transformacions s'han aplicat?
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteProblemes competencials 4 problemes
P1 Triangulació d'un penya-segat
Dos observadors, A i B, són a la vora del mar separats 300 m en línia recta. Tots dos veuen el mateix punt C de la base d'un penya-segat a l'altra banda d'una cala. Des d'A, l'angle entre la línia AB i la direcció a C és de 40°; des de B,…
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteP2 Les hores de llum
A una localitat, el nombre d'hores de llum solar al llarg de l'any s'ajusta a la funció
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteP3 La parcel·la triangular
Una parcel·la té forma de triangle. Dos dels seus costats fan 45 m i 62 m, i l'angle que formen és de 68°.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteP4 La rampa d'accés
Cal construir una rampa per salvar un desnivell de 1,20 m a l'entrada d'un edifici. La normativa d'accessibilitat exigeix que el pendent no superi el 8 %, és a dir que la tangent de l'angle d'inclinació no passi de 0,08.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compte