Derivades

Taxa de variació i derivada en un punt

Full 1 de 7

Taxa de variació mitjana

És el pendent de la recta secant que passa per (a, f(a)) i (b, f(b)). Exemple: un objecte que cau recorre s(t) = 5t² metres en t segons. Entre t = 1 i t = 3:

Funció derivada, taula i regles

Full 2 de 7

La funció derivada f′ associa a cada x el valor f′(x). Derivant-la de nou s'obté f″, la derivada segona, i així successivament. A la taula, u és una funció de x i u′ la seva derivada (la columna de la dreta ja porta incorporada la regla de…

Derivabilitat i continuïtat

Full 3 de 7

Les derivades laterals són els límits laterals de la definició, amb h → 0⁻ i h → 0⁺. f és derivable a x = a si totes dues existeixen, són finites i coincideixen.

Monotonia i extrems relatius

Full 4 de 7

El signe de la derivada diu si la funció puja o baixa:

Curvatura i punts d'inflexió

Full 5 de 7

La derivada segona diu com es corba la gràfica:

Optimització

Full 6 de 7

Mètode

1. Identifica la magnitud que s'ha de fer màxima o mínima i escriu-la amb dues variables si cal.
2. Busca a l'enunciat la relació entre les variables (la condició) i aïlla'n una.
3. Substitueix per tenir una funció d'una sola variable i escriu-ne el domini amb sentit físic.
4. Deriva, iguala a zero i descarta les solucions fora del domini.
5. Justifica que és màxim o mínim (f″ o signe de f′). Si el domini és tancat, compara també amb els extrems de l'interval.
6. Respon el que es pregunta, amb unitats.

Exemple 1: la capsa de volum màxim

D'una planxa quadrada de cartró de 30 cm de costat se'n retallen quatre quadrats de costat x a les cantonades i es dobleguen les vores. Quin x dona la capsa sense tapa de volum màxim?

Representació de funcions

Full 7 de 7

Guió

1. Domini i, si cal, signe de f.
2. Simetries: parella si f(−x) = f(x) (respecte de l'eix OY); senar si f(−x) = −f(x) (respecte de l'origen).
3. Talls amb els eixos: amb OY, x = 0; amb OX, f(x) = 0.
4. Asímptotes i branques infinites amb la posició (U11).
5. Monotonia i extrems amb f′.
6. Curvatura i inflexions amb f″.
7. Situa els punts trobats, dibuixa primer les asímptotes i uneix seguint les taules.

Polinòmica: f(x) = x³ − 3x

• Domini ℝ, sense asímptotes. Senar: f(−x) = −f(x), simètrica respecte de l'origen.
• Talls: x(x² − 3) = 0, és a dir (0, 0), (√3, 0) i (−√3, 0).
• Branques: f → −∞ quan x → −∞ i f → +∞ quan x → +∞ (branques parabòliques).
• f′(x) = 3x² − 3: creixent a (−∞, −1) ∪ (1, +∞), decreixent a (−1, 1). Màxim (−1, 2), mínim (1, −2).
• f″(x) = 6x: còncava ∩ a (−∞, 0), convexa ∪ a (0, +∞). Inflexió a (0, 0).

Racional: f(x) = x²x − 1

• Domini ℝ − {1}. No és parella ni senar. Únic tall: (0, 0).
• AV x = 1: per l'esquerra −∞, per la dreta +∞.
• AO y = x + 1 (x² = (x − 1)(x + 1) + 1). f(x) − (x + 1) = 1x − 1: per sobre cap a +∞, per sota cap a −∞.
• f′(x) = x(x − 2)(x − 1)²: creixent a (−∞, 0) ∪ (2, +∞); decreixent a (0, 1) ∪ (1, 2). Màxim (0, 0), mínim (2, 4).
• f″(x) = 2(x − 1)³: còncava ∩ a (−∞, 1), convexa ∪ a (1, +∞). Sense inflexió: x = 1 no és del domini.