U4–U5

Formulari de trigonometria

Totes les fórmules del bloc en un sol lloc: relacions fonamentals, valors notables, reducció al primer quadrant, suma i diferència, angle doble i angle meitat, transformacions i resolució de triangles.

8 grups de fórmules
Anaya, Operació Món · U4 i U5
Imprimible en 2 fulls A4

Fórmules

Relacions fonamentals

Les tres que lliguen sinus, cosinus i tangent

sin² α + cos² α = 1

tg α = sin αcos α

1 + tg² α = 1cos² α 1 + cotg² α = 1sin² α

Raons inverses

sec α = 1cos α cosec α = 1sin α cotg α = 1tg α

Graus i radians

π rad = 180° 1 rad ≈ 57,30°

Errors freqüents

Malament	Bé
Llegir sin² α com sin(α²).	sin² α vol dir (sin α)².
Treure cos α = √(1 − sin² α) sempre positiu.	L'arrel té dos signes: el quadrant de α decideix quin.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Valors notables i signes

Els que s'han de saber sense calculadora

Angle	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
rad	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2
sin	0	12	√22	√32	1	0	−1
cos	1	√32	√22	12	0	−1	0
tg	0	√33	1	√3	∄	0	∄

Signes per quadrant

Quadrant	I	II	III	IV
sin	+	+	−	−
cos	+	−	−	+
tg	+	−	+	−

Errors freqüents

Malament	Bé
Calcular amb la calculadora en graus un angle donat en radians.	Comprovar el mode (DEG / RAD) abans de cada càlcul.
Dir que tg 90° = 0.	tg 90° no existeix: el cosinus s'anul·la.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Reducció al primer quadrant

Angles complementaris, suplementaris, oposats i els que difereixen 180°

Relació	Angle	sin	cos	tg
Complementaris	90° − α	cos α	sin α	cotg α
Difereixen 90°	90° + α	cos α	−sin α	−cotg α
Suplementaris	180° − α	sin α	−cos α	−tg α
Difereixen 180°	180° + α	−sin α	−cos α	tg α
Sumen 270°	270° − α	−cos α	−sin α	cotg α
Difereixen 270°	270° + α	−cos α	sin α	−cotg α
Oposats	−α (= 360° − α)	−sin α	cos α	−tg α
Difereixen voltes	α + 360°·k	sin α	cos α	tg α

Regla per recordar-la: amb 180° i 360° la raó es manté ; amb 90° i 270° canvia (sinus ↔ cosinus, tangent ↔ cotangent). El signe és el que té la raó de partida en el quadrant on cau l'angle, prenent α agut. Exemple: sin 120° = sin(180° −…

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Suma i diferència d'angles

La base de totes les altres

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg(α ± β) = tg α ± tg β1 ∓ tg α tg β

Exemple: sin 15° = sin(45° − 30°) = √22·√32 − √22·12 = √6 − √24.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Angle doble

Fent β = α a les fórmules de la suma

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos² α − sin² α = 2cos² α − 1 = 1 − 2sin² α

tg 2α = 2 tg α1 − tg² α

Per baixar el grau

sin² α = 1 − cos 2α2 cos² α = 1 + cos 2α2

De les tres formes de cos 2α, tria la que deixa l'equació amb una sola raó.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Angle meitat

Aïllant de les fórmules de cos 2α

sin α2 = ±√( 1 − cos α2 )

cos α2 = ±√( 1 + cos α2 )

tg α2 = ±√( 1 − cos α1 + cos α ) = sin α1 + cos α = 1 − cos αsin α

El signe el decideix el quadrant de α2, no el de α. Les dues últimes formes de la tangent no porten ±. Exemple: tg 22,5° = 1 − cos 45°sin 45° = √2 − 1.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Sumes en productes i productes en sumes

Per resoldre equacions i simplificar

sin A + sin B = 2 sin A + B2 cos A − B2

sin A − sin B = 2 cos A + B2 sin A − B2

cos A + cos B = 2 cos A + B2 cos A − B2

cos A − cos B = −2 sin A + B2 sin A − B2

Productes en sumes

sin α cos β = 12[sin(α + β) + sin(α − β)]

cos α cos β = 12[cos(α + β) + cos(α − β)]

sin α sin β = −12[cos(α + β) − cos(α − β)]

Errors freqüents

Malament	Bé
Oblidar el signe − de cos A − cos B.	cos A − cos B = −2 sin A + B2 sin A − B2.
Dividir per sin x en una equació i perdre solucions.	Treure factor comú: sin x = 0 també dona solucions.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte

Resolució de triangles

Qualsevol triangle, costats a, b, c oposats a A, B, C

Teorema del sinus

asin A = bsin B = csin C = 2R

Teorema del cosinus

a² = b² + c² − 2bc cos A

Àrea

S = 12 a b sin C S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = a + b + c2

Amb dos costats i l'angle oposat a un d'ells (cas ambigu) pot haver-hi zero, una o dues solucions: el sinus d'un angle i el del seu suplementari coincideixen.

Gratis amb el compte. Crea el compte gratuït per veure-ho sencer, amb la solució.

Crea el compte gratuït Ja tinc compte