Límits i continuïtat

La idea de límit. Límits laterals

Full 1 de 6

Diem que lim_x→a f(x) = L quan, en acostar x a a tant com vulguem (sense arribar a ser a), els valors f(x) s'acosten tant com vulguem a L. El que passa exactament a x = a no compta: f(a) pot no existir o valer una altra cosa.

Límits a l'infinit i operacions

Full 2 de 6

lim_x→+∞ f(x) descriu què fa la gràfica cap a la dreta; lim_x→−∞ f(x), cap a l'esquerra. Pot donar un nombre L (la gràfica s'estabilitza: asímptota horitzontal), ±∞, o no existir (sin x oscil·la i no té límit a l'infinit).

Indeterminacions a un punt i el nombre e

Full 3 de 6

El primer pas és sempre substituir. Si surt un nombre, aquest és el límit. Només si surt una de les formes següents cal fer feina.

Continuïtat i tipus de discontinuïtat

Full 4 de 6

Intuïtivament, una funció és contínua si la gràfica es pot dibuixar sense aixecar el llapis. La definició precisa és puntual: f és contínua a x = a si es compleixen les tres condicions

Funcions a trossos amb paràmetre

Full 5 de 6

Mètode

1. Dins de cada tros: cada expressió és elemental i és contínua al seu domini. Mira si algun denominador s'anul·la, o algun radicand és negatiu, dins de l'interval on actua.
2. Als punts d'unió: calcula f(a), el lateral esquerre amb el tros de l'esquerra i el dret amb el de la dreta.
3. Iguala'ls per trobar el paràmetre i conclou per a cada valor.

Exemple 1

f(x) = ax + 1 si x < 2, f(x) = x² − a si x ≥ 2. Els dos trossos són polinomis: només cal mirar x = 2.

Asímptotes i branques infinites

Full 6 de 6

Cap a un mateix costat (+∞ o −∞), una funció no pot tenir alhora asímptota horitzontal i obliqua. La gràfica d'una racional no talla mai una asímptota vertical (x = a no és del domini); una horitzontal o obliqua, sí que la pot tallar…