Derivadas

Tasa de variación y derivada en un punto

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Tasa de variación media

Es la pendiente de la recta secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)). Ejemplo: un objeto que cae recorre s(t) = 5t² metros en t segundos. Entre t = 1 y t = 3:

Función derivada, tabla y reglas

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La función derivada f′ asocia a cada x el valor f′(x). Derivándola de nuevo se obtiene f″, la derivada segunda, y así sucesivamente. En la tabla, u es una función de x y u′ su derivada (la columna de la derecha ya lleva incorporada la regla de…

Derivabilidad y continuidad

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Las derivadas laterales son los límites laterales de la definición, con h → 0⁻ y h → 0⁺. f es derivable en x = a si las dos existen, son finitas y coinciden.

Monotonía y extremos relativos

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El signo de la derivada dice si la función sube o baja:

Curvatura y puntos de inflexión

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La derivada segunda dice cómo se curva la gráfica:

Optimización

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Método

1. Identifica la magnitud que se tiene que hacer máxima o mínima y escríbela con dos variables si hace falta.
2. Busca en el enunciado la relación entre las variables (la condición) y despeja una.
3. Sustituye para tener una función de una sola variable y escribe su dominio con sentido físico.
4. Deriva, iguala a cero y descarta las soluciones fuera del dominio.
5. Justifica que es máximo o mínimo (f″ o signo de f′). Si el dominio es cerrado, compara también con los extremos del intervalo.
6. Responde a lo que se pregunta, con unidades.

Ejemplo 1: la caja de volumen máximo

De una plancha cuadrada de cartón de 30 cm de lado se recortan cuatro cuadrados de lado x en las esquinas y se doblan los bordes. ¿Qué x da la caja sin tapa de volumen máximo?

Representación de funciones

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Guion

1. Dominio y, si hace falta, signo de f.
2. Simetrías: par si f(−x) = f(x) (respecto del eje OY); impar si f(−x) = −f(x) (respecto del origen).
3. Cortes con los ejes: con OY, x = 0; con OX, f(x) = 0.
4. Asíntotas y ramas infinitas con la posición (U11).
5. Monotonía y extremos con f′.
6. Curvatura e inflexiones con f″.
7. Sitúa los puntos encontrados, dibuja primero las asíntotas y une siguiendo las tablas.

Polinómica: f(x) = x³ − 3x

• Dominio ℝ, sin asíntotas. Impar: f(−x) = −f(x), simétrica respecto del origen.
• Cortes: x(x² − 3) = 0, es decir, (0, 0), (√3, 0) y (−√3, 0).
• Ramas: f → −∞ cuando x → −∞ y f → +∞ cuando x → +∞ (ramas parabólicas).
• f′(x) = 3x² − 3: creciente en (−∞, −1) ∪ (1, +∞), decreciente en (−1, 1). Máximo (−1, 2), mínimo (1, −2).
• f″(x) = 6x: cóncava ∩ en (−∞, 0), convexa ∪ en (0, +∞). Inflexión en (0, 0).

Racional: f(x) = x²x − 1

• Dominio ℝ − {1}. No es par ni impar. Único corte: (0, 0).
• AV x = 1: por la izquierda −∞, por la derecha +∞.
• AO y = x + 1 (x² = (x − 1)(x + 1) + 1). f(x) − (x + 1) = 1x − 1: por encima hacia +∞, por debajo hacia −∞.
• f′(x) = x(x − 2)(x − 1)²: creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Máximo (0, 0), mínimo (2, 4).
• f″(x) = 2(x − 1)³: cóncava ∩ en (−∞, 1), convexa ∪ en (1, +∞). Sin inflexión: x = 1 no es del dominio.