Números complejos
Con el número i, la raíz de −1, todas las ecuaciones de segundo grado tienen solución. Aprenderás a operar con complejos en forma binómica y en forma polar, y verás cómo la trigonometría de la U4 y la U5 convierte potencias y raíces en giros sobre el plano.
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Hojas resumen
La unidad imaginaria y la forma binómica
Hoja 1 de 6
La ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución real, porque ningún cuadrado es negativo. Se inventa un número nuevo, la unidad imaginaria:
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Hazte premiumYa tengo cuentaOperaciones en forma binómica
Hoja 2 de 6
Se opera como con polinomios en i, y al final se sustituye i² = −1. Con z1 = 3 + 2i y z2 = 1 − 4i:
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Hazte premiumYa tengo cuentaPlano complejo, módulo y argumento. Forma polar
Hoja 3 de 6
Cada complejo z = a + bi se representa en el plano complejo (o de Argand) como el punto (a, b), o como el vector que va del origen a ese punto. El eje horizontal es el eje real y el vertical, el eje imaginario.
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Hazte premiumYa tengo cuentaProducto, cociente y potencias en forma polar
Hoja 4 de 6
En forma binómica se hacen bien las sumas; en forma polar, los productos, los cocientes y, sobre todo, las potencias.
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Hazte premiumYa tengo cuentaRaíces n-ésimas
Hoja 5 de 6
Todo complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas diferentes. Si z = rα, las raíces son
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Hazte premiumYa tengo cuentaEcuaciones con soluciones complejas
Hoja 6 de 6
En ℂ toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones, contándolas con su multiplicidad (teorema fundamental del álgebra).
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