Representación de funciones
Con el dominio, los límites y las dos derivadas se puede dibujar cualquier gráfica de la PAU sin hacer ninguna tabla de valores. Aquí tienes el orden del estudio, qué hay que mirar en cada paso y cómo se hace el camino inverso: leer una gráfica.
- 7 hojas resumen
- Anaya, Operación Mundo · Unidad 10
- 37 problemas de PAU
Hojas resumen
Dominio, simetrías, cortes con los ejes y signo
Hoja 1 de 7
Son los primeros pasos de cualquier estudio. Dicen dónde hay gráfica, si basta con dibujar la mitad, por dónde pasa y en qué zonas del plano queda.
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Hazte premiumYa tengo cuentaAsíntotas y posición de la curva
Hoja 2 de 7
Los tres tipos
| Asíntota | Condición | Dónde se busca |
|---|---|---|
| Vertical x = a | limx→a− f(x) o limx→a+ f(x) es ±∞ | Ceros del denominador que no anulan el numerador, extremos del dominio de un logaritmo… |
| Horizontal y = L | limx→+∞ f(x) = L o limx→−∞ f(x) = L | En +∞ y en −∞ por separado |
| Oblicua y = mx + n | m = lim f(x)x (finito y ≠ 0), n = lim (f(x) − mx) | Solo en los lados donde no hay horizontal |
Para las funciones racionales P(x)Q(x), el grado lo decide todo hacia ±∞:
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Hazte premiumYa tengo cuentaMonotonía y extremos relativos
Hoja 3 de 7
Criterio de la primera derivada
- f′(x) > 0 en un intervalo: f es creciente en él.
- f′(x) < 0 en un intervalo: f es decreciente en él.
- Si f es continua en x = a y f′ pasa de + a −, hay un máximo relativo; de − a +, un mínimo relativo.
Los puntos que se marcan en la recta son: donde f′(x) = 0 (puntos críticos), donde f′ no existe y los puntos que no son del dominio.
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Hazte premiumYa tengo cuentaCurvatura y puntos de inflexión
Hoja 4 de 7
Criterio de la segunda derivada
- f″(x) > 0: f es convexa, forma ∪. La pendiente aumenta y la curva queda por encima de las tangentes.
- f″(x) < 0: f es cóncava, forma ∩. La pendiente disminuye y la curva queda por debajo de las tangentes.
Algunos libros y enunciados intercambian los nombres. Para no perder puntos, escribe siempre la forma al lado: «convexa (∪)».
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Hazte premiumYa tengo cuentaGuion del estudio: polinómicas y racionales
Hoja 5 de 7
El orden del estudio
- Dominio y, si las hay, simetrías y periodo.
- Cortes con los ejes y signo.
- Asíntotas y posición de la curva (o límites en ±∞ si no las hay).
- f′: monotonía y extremos relativos, con sus coordenadas.
- f″: curvatura y puntos de inflexión (si el enunciado lo pide).
- Dibujo: primero las asíntotas en discontinuo y los puntos calculados; después la curva, que no puede contradecir ningún dato.
Un polinomio no tiene asíntotas: hacia ±∞ se comporta como el término de grado más alto. Un polinomio de grado n tiene como mucho n − 1 extremos y n − 2 inflexiones.
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Hazte premiumYa tengo cuentaExponenciales, logarítmicas, trigonométricas, valor absoluto y a trozos
Hoja 6 de 7
El guion es el mismo de la hoja 5. Lo que cambia son los límites: en el infinito, la exponencial se impone a cualquier potencia, y cualquier potencia se impone al logaritmo.
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Hazte premiumYa tengo cuentaLeer gráficas: de f′ a f y reconocer funciones
Hoja 7 de 7
Qué dice la gráfica de f′ sobre f
| En la gráfica de f′ se ve… | …y para f significa |
|---|---|
| f′ por encima del eje OX | f creciente |
| f′ por debajo del eje OX | f decreciente |
| f′ corta el eje pasando de + a − | Máximo relativo de f |
| f′ corta el eje pasando de − a + | Mínimo relativo de f |
| f′ toca el eje sin atravesarlo | Tangente horizontal sin extremo |
| f′ creciente | f convexa (∪) |
| f′ decreciente | f cóncava (∩) |
| Máximo o mínimo de f′ | Punto de inflexión de f |
| Valor f′(a) | Pendiente de la tangente a f en x = a |
Ejemplo
La gráfica de f′ es esta parábola, que corta el eje en x = −1 y x = 3 y tiene el vértice en x = 1:
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