Representació de funcions

Domini, simetries, talls i signe

Full 1 de 6

L'estudi complet d'una funció segueix sempre el mateix ordre. Aquest full en fa els quatre primers passos, que no necessiten derivades.

Asímptotes

Full 2 de 6

Una asímptota és una recta a la qual la gràfica s'acosta tant com es vulgui. Es calculen amb els límits de la U5.

Estudi complet pas a pas

Full 3 de 6

Guió complet, que és el que els correctors esperen trobar en ordre:

Polinòmiques, exponencials i logarítmiques

Full 4 de 6

Polinomi: f(x) = x³ − 3x²

• Domini ℝ, sense asímptotes. Quan x → +∞, f → +∞; quan x → −∞, f → −∞.
• Talls: x²(x − 3) = 0 dona (0, 0) i (3, 0). A x = 0 l'arrel és doble: la gràfica toca l'eix sense travessar-lo.
• f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2): creix a (−∞, 0) ∪ (2, +∞) i decreix a (0, 2). Màxim relatiu (0, 0) i mínim relatiu (2, −4).
• f″(x) = 6x − 6: còncava (∩) a (−∞, 1), convexa (∪) a (1, +∞). Inflexió a (1, −2).

Exponencial: f(x) = x·e^x

• Domini ℝ. Tall únic a (0, 0), perquè e^x > 0 sempre; el signe de f és el de x.
• Quan x → −∞, x·e^x → 0: asímptota horitzontal y = 0 per l'esquerra (la gràfica s'hi acosta per sota). Quan x → +∞, f → +∞.
• f′(x) = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x: decreix a (−∞, −1) i creix a (−1, +∞). Mínim a (−1, −1e) ≈ (−1, −0,37).
• f″(x) = (x + 2)e^x: inflexió a (−2, −2e²) ≈ (−2, −0,27); còncava (∩) a l'esquerra i convexa (∪) a la dreta.

El truc de les exponencials: e^x no s'anul·la mai, i per tant el signe de f′ i de f″ el decideix només l'altre factor.

Funcions definides a trossos

Full 5 de 6

Moltes funcions de context canvien de fórmula a mig interval: una tarifa, l'audiència d'un partit a la primera i a la segona part. Es treballa cada tros amb la seva fórmula, però els punts d'unió s'estudien a part.

Llegir una gràfica: de f i de f′

Full 6 de 6

Gràfica de f

Si et donen el dibuix de f, s'hi llegeixen directament el domini, els talls, el signe, les asímptotes, on creix i decreix, els extrems i la curvatura. I també el signe de f′: on f creix, f′ > 0; als màxims i mínims amb tangent horitzontal,…