Representación de funciones

Dominio, simetrías, cortes y signo

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El estudio completo de una función sigue siempre el mismo orden. Esta hoja hace los cuatro primeros pasos, que no necesitan derivadas.

Asíntotas

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Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca tanto como se quiera. Se calculan con los límites de la U5.

Estudio completo paso a paso

Hoja 3 de 6

Guion completo, que es lo que los correctores esperan encontrar en orden:

Polinómicas, exponenciales y logarítmicas

Hoja 4 de 6

Polinomio: f(x) = x³ − 3x²

• Dominio ℝ, sin asíntotas. Cuando x → +∞, f → +∞; cuando x → −∞, f → −∞.
• Cortes: x²(x − 3) = 0 da (0, 0) y (3, 0). En x = 0 la raíz es doble: la gráfica toca el eje sin atravesarlo.
• f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2): crece en (−∞, 0) ∪ (2, +∞) y decrece en (0, 2). Máximo relativo (0, 0) y mínimo relativo (2, −4).
• f″(x) = 6x − 6: cóncava (∩) en (−∞, 1), convexa (∪) en (1, +∞). Inflexión en (1, −2).

Exponencial: f(x) = x·e^x

• Dominio ℝ. Corte único en (0, 0), porque e^x > 0 siempre; el signo de f es el de x.
• Cuando x → −∞, x·e^x → 0: asíntota horizontal y = 0 por la izquierda (la gráfica se acerca por debajo). Cuando x → +∞, f → +∞.
• f′(x) = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x: decrece en (−∞, −1) y crece en (−1, +∞). Mínimo en (−1, −1e) ≈ (−1, −0,37).
• f″(x) = (x + 2)e^x: inflexión en (−2, −2e²) ≈ (−2, −0,27); cóncava (∩) a la izquierda y convexa (∪) a la derecha.

El truco de las exponenciales: e^x no se anula nunca y, por tanto, el signo de f′ y de f″ lo decide solo el otro factor.

Funciones definidas a trozos

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Muchas funciones de contexto cambian de fórmula a mitad del intervalo: una tarifa, la audiencia de un partido en la primera y en la segunda parte. Se trabaja cada trozo con su fórmula, pero los puntos de unión se estudian aparte.

Leer una gráfica: de f y de f′

Hoja 6 de 6

Gráfica de f

Si te dan el dibujo de f, se leen directamente en él el dominio, los cortes, el signo, las asíntotas, dónde crece y decrece, los extremos y la curvatura. Y también el signo de f′: donde f crece, f′ > 0; en los máximos y mínimos con tangente horizontal,…