La integral definida

L'àrea sota una corba i les sumes de Riemann

Full 1 de 7

Volem l'àrea del recinte limitat per la gràfica de f, l'eix OX i les rectes x = a i x = b, amb f contínua i positiva a [a, b]. La idea és aproximar-la amb rectangles i fer-los cada vegada més estrets.

Propietats i teorema del valor mitjà

Full 2 de 7

Propietats

Per a f i g integrables a [a, b] i k ∈ ℝ:

Teorema fonamental del càlcul

Full 3 de 7

Si fixem a i deixem moure el límit superior, la integral es converteix en una funció de x, la funció àrea o funció integral:

Regla de Barrow

Full 4 de 7

Si f és contínua a [a, b] i G és qualsevol primitiva de f,

Àrea entre una corba i l'eix OX

Full 5 de 7

L'àrea és sempre positiva, però la integral resta on la funció és negativa. Per això no n'hi ha prou amb integrar de a a b: cal separar els trossos on f canvia de signe.

Àrea entre dues corbes i volums de revolució

Full 6 de 7

L'àrea entre les gràfiques de f i g, entre x = a i x = b, és

Problemes tipus PBAU: paràmetres i recintes descrits amb paraules

Full 7 de 7

Trobar un paràmetre coneguda l'àrea

Es fa igual que un problema d'àrea, però amb la lletra: talls, integral en funció del paràmetre i, al final, una equació. Cal comprovar que la solució compleix les condicions de l'enunciat.