Aplicacions de les derivades

Monotonia i extrems relatius

Full 1 de 7

Creixement i decreixement

• Si f′(x) > 0 a tot un interval, f hi és creixent.
• Si f′(x) < 0 a tot un interval, f hi és decreixent.

Els punts crítics (o singulars) són els que tenen f′(x) = 0: la tangent hi és horitzontal. Els extrems relatius d'una funció derivable només poden ser-hi.

Extrems absoluts en un interval tancat

Full 2 de 7

Teorema de Weierstrass. Si f és contínua a un interval tancat [a, b], hi assoleix un màxim absolut i un mínim absolut.

Curvatura i punts d'inflexió

Full 3 de 7

• Si f″(x) > 0 en un interval, f hi és convexa (∪): la gràfica queda per sobre de les tangents.
• Si f″(x) < 0, f hi és còncava (∩): la gràfica queda per sota de les tangents.

Un punt d'inflexió és un punt del domini on f és contínua i canvia la curvatura. Si f″ existeix, ha de ser f″(a) = 0.

Paràmetres a partir de condicions

Full 4 de 7

És un dels problemes més freqüents de la PBAU: es dona f amb coeficients desconeguts i unes quantes propietats. Cada propietat es tradueix en una equació, i cal tantes equacions com incògnites.

Optimització

Full 5 de 7

Mètode complet

1. Incògnites. Posa nom a les magnituds (si cal, amb un dibuix) i indica les unitats.
2. Funció objectiu. Escriu la quantitat que s'ha de fer màxima o mínima en funció de les incògnites.
3. Relació. Amb la condició de l'enunciat, aïlla una incògnita i substitueix-la: la funció ha de dependre d'una sola variable.
4. Domini. Quins valors té sentit que prengui la variable (longituds positives, x < 25…).
5. Derivada igual a 0 i solucions que són dins del domini.
6. Justificació que és màxim o mínim: amb f″, amb el signe de f′ o comparant amb els extrems de l'interval si és tancat.
7. Resposta a la pregunta, amb totes les magnituds que demanen i les unitats.

Exemple: tanca mínima

Es vol tancar un terreny rectangular de 800 m² al costat d'una paret, que fa de quart costat. Quines dimensions fan servir el mínim de tanca?

Teoremes de Rolle i del valor mitjà

Full 6 de 7

Teorema de Rolle

Si f és

Regla de L'Hôpital

Full 7 de 7

Si lim_x→a f(x) i lim_x→a g(x) són tots dos 0, o tots dos ±∞, f i g són derivables a prop de a (amb g′(x) ≠ 0, excepte potser a x = a) i existeix el límit del quocient de derivades, llavors