U4–U5

Formulario de trigonometría

Todas las fórmulas del bloque en un solo lugar: relaciones fundamentales, valores notables, reducción al primer cuadrante, suma y diferencia, ángulo doble y ángulo mitad, transformaciones y resolución de triángulos.

8 grupos de fórmulas
Anaya, Operación Mundo · U4 y U5
Imprimible en 2 hojas A4

Fórmulas

Relaciones fundamentales

Las tres que relacionan seno, coseno y tangente

sin² α + cos² α = 1

tg α = sen αcos α

1 + tg² α = 1cos² α 1 + cotg² α = 1sin² α

Razones inversas

sec α = 1cos α cosec α = 1sen α cotg α = 1tg α

Grados y radianes

π rad = 180° 1 rad ≈ 57,30°

Errores frecuentes

Mal	Bien
Leer sin² α como sen(α²).	sin² α significa (sen α)².
Sacar cos α = √(1 − sin² α) siempre positivo.	La raíz tiene dos signos: el cuadrante de α decide cuál.

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Valores notables y signos

Los que hay que saber sin calculadora

Ángulo	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
rad	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2
sin	0	12	√22	√32	1	0	−1
cos	1	√32	√22	12	0	−1	0
tg	0	√33	1	√3	∄	0	∄

Signos por cuadrante

Cuadrante	I	II	III	IV
sin	+	+	−	−
cos	+	−	−	+
tg	+	−	+	−

Errores frecuentes

Mal	Bien
Calcular con la calculadora en grados un ángulo dado en radianes.	Comprobar el modo (DEG / RAD) antes de cada cálculo.
Decir que tg 90° = 0.	tg 90° no existe: el coseno se anula.

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Reducción al primer cuadrante

Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos y los que difieren en 180°

Relación	Ángulo	sin	cos	tg
Complementarios	90° − α	cos α	sen α	cotg α
Difieren en 90°	90° + α	cos α	−sen α	−cotg α
Suplementarios	180° − α	sen α	−cos α	−tg α
Difieren en 180°	180° + α	−sen α	−cos α	tg α
Suman 270°	270° − α	−cos α	−sen α	cotg α
Difieren en 270°	270° + α	−cos α	sen α	−cotg α
Opuestos	−α (= 360° − α)	−sen α	cos α	−tg α
Difieren en vueltas	α + 360°·k	sen α	cos α	tg α

Regla para recordarla: con 180° y 360° la razón se mantiene ; con 90° y 270° cambia (seno ↔ coseno, tangente ↔ cotangente). El signo es el que tiene la razón de partida en el cuadrante donde cae el ángulo, tomando α agudo. Ejemplo: sen 120° = sen(180° −…

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Suma y diferencia de ángulos

La base de todas las demás

sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen β

tg(α ± β) = tg α ± tg β1 ∓ tg α tg β

Ejemplo: sen 15° = sen(45° − 30°) = √22·√32 − √22·12 = √6 − √24.

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Ángulo doble

Haciendo β = α en las fórmulas de la suma

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos² α − sin² α = 2cos² α − 1 = 1 − 2sin² α

tg 2α = 2 tg α1 − tg² α

Para bajar el grado

sin² α = 1 − cos 2α2 cos² α = 1 + cos 2α2

De las tres formas de cos 2α, elige la que deja la ecuación con una sola razón.

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Ángulo mitad

Despejando de las fórmulas de cos 2α

sin α2 = ±√( 1 − cos α2 )

cos α2 = ±√( 1 + cos α2 )

tg α2 = ±√( 1 − cos α1 + cos α ) = sen α1 + cos α = 1 − cos αsen α

El signo lo decide el cuadrante de α2, no el de α. Las dos últimas formas de la tangente no llevan ±. Ejemplo: tg 22,5° = 1 − cos 45°sen 45° = √2 − 1.

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Sumas en productos y productos en sumas

Para resolver ecuaciones y simplificar

sen A + sen B = 2 sin A + B2 cos A − B2

sen A − sen B = 2 cos A + B2 sin A − B2

cos A + cos B = 2 cos A + B2 cos A − B2

cos A − cos B = −2 sin A + B2 sin A − B2

Productos en sumas

sen α cos β = 12[sen(α + β) + sen(α − β)]

cos α cos β = 12[cos(α + β) + cos(α − β)]

sen α sen β = −12[cos(α + β) − cos(α − β)]

Errores frecuentes

Mal	Bien
Olvidar el signo − de cos A − cos B.	cos A − cos B = −2 sin A + B2 sin A − B2.
Dividir por sen x en una ecuación y perder soluciones.	Sacar factor común: sen x = 0 también da soluciones.

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Resolución de triángulos

Cualquier triángulo, lados a, b, c opuestos a A, B, C

Teorema del seno

asen A = bsen B = csen C = 2R

Teorema del coseno

a² = b² + c² − 2bc cos A

Área

S = 12 a b sen C S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = a + b + c2

Con dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (caso ambiguo) puede haber cero, una o dos soluciones: el seno de un ángulo y el de su suplementario coinciden.

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