Representació de funcions
Amb el domini, els límits i les dues derivades es pot dibuixar qualsevol gràfica de la PBAU sense fer cap taula de valors. Aquí tens l'ordre de l'estudi, què cal mirar a cada pas i com es fa el camí invers: llegir una gràfica.
- 7 fulls resum
- Anaya, Operació Món · Unitat 10
- 37 problemes de PBAU
Fulls resum
Domini, simetries, talls amb els eixos i signe
Full 1 de 7
Són els primers passos de qualsevol estudi. Diuen on hi ha gràfica, si n'hi ha prou de dibuixar-ne la meitat, per on passa i a quines zones del pla queda.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteAsímptotes i posició de la corba
Full 2 de 7
Els tres tipus
| Asímptota | Condició | On es busca |
|---|---|---|
| Vertical x = a | limx→a− f(x) o limx→a+ f(x) és ±∞ | Zeros del denominador que no anul·len el numerador, extrems del domini d'un logaritme… |
| Horitzontal y = L | limx→+∞ f(x) = L o limx→−∞ f(x) = L | A +∞ i a −∞ per separat |
| Obliqua y = mx + n | m = lim f(x)x (finit i ≠ 0), n = lim (f(x) − mx) | Només als costats on no hi ha horitzontal |
Per a les funcions racionals P(x)Q(x), el grau ho decideix tot cap a ±∞:
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteMonotonia i extrems relatius
Full 3 de 7
Criteri de la primera derivada
- f′(x) > 0 en un interval: f hi és creixent.
- f′(x) < 0 en un interval: f hi és decreixent.
- Si f és contínua a x = a i f′ hi passa de + a −, hi ha un màxim relatiu; de − a +, un mínim relatiu.
Els punts que es marquen a la recta són: on f′(x) = 0 (punts crítics), on f′ no existeix i els punts que no són del domini.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteCurvatura i punts d'inflexió
Full 4 de 7
Criteri de la segona derivada
- f″(x) > 0: f és convexa, forma ∪. La pendent augmenta i la corba queda per sobre de les tangents.
- f″(x) < 0: f és còncava, forma ∩. La pendent disminueix i la corba queda per sota de les tangents.
Alguns llibres i enunciats intercanvien els noms. Per no perdre punts, escriu sempre la forma al costat: «convexa (∪)».
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteGuió de l'estudi: polinòmiques i racionals
Full 5 de 7
L'ordre de l'estudi
- Domini i, si n'hi ha, simetries i període.
- Talls amb els eixos i signe.
- Asímptotes i posició de la corba (o límits a ±∞ si no n'hi ha).
- f′: monotonia i extrems relatius, amb les seves coordenades.
- f″: curvatura i punts d'inflexió (si l'enunciat ho demana).
- Dibuix: primer les asímptotes en discontinu i els punts calculats; després la corba, que no pot contradir cap dada.
Un polinomi no té asímptotes: cap a ±∞ es comporta com el terme de grau més alt. Un polinomi de grau n té com a molt n − 1 extrems i n − 2 inflexions.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteExponencials, logarítmiques, trigonomètriques, valor absolut i a trossos
Full 6 de 7
El guió és el mateix del full 5. El que canvia són els límits: a l'infinit, l'exponencial s'imposa a qualsevol potència, i qualsevol potència s'imposa al logaritme.
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compteLlegir gràfiques: de f′ a f i reconèixer funcions
Full 7 de 7
Què diu la gràfica de f′ sobre f
| A la gràfica de f′ es veu… | …i per a f vol dir |
|---|---|
| f′ per sobre de l'eix OX | f creixent |
| f′ per sota de l'eix OX | f decreixent |
| f′ talla l'eix passant de + a − | Màxim relatiu de f |
| f′ talla l'eix passant de − a + | Mínim relatiu de f |
| f′ toca l'eix sense travessar-lo | Tangent horitzontal sense extrem |
| f′ creixent | f convexa (∪) |
| f′ decreixent | f còncava (∩) |
| Màxim o mínim de f′ | Punt d'inflexió de f |
| Valor f′(a) | Pendent de la tangent a f a x = a |
Exemple
La gràfica de f′ és aquesta paràbola, que talla l'eix a x = −1 i x = 3 i té el vèrtex a x = 1:
Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.
Fes-te premiumJa tinc compte