Problemes mètrics

Angles entre rectes i plans

Full 1 de 6

Tots els angles es calculen amb el producte escalar de la U4, triant bé quins vectors hi entren: el director per a una recta i el normal per a un pla. El resultat sempre és un angle de 0° a 90°, i per això el producte escalar va en valor…

Projeccions ortogonals i punts simètrics

Full 2 de 6

La projecció ortogonal d'un punt és el peu de la perpendicular: el punt més proper de la recta o del pla. El simètric és a l'altra banda, a la mateixa distància, i la projecció M n'és el punt mitjà:

Distàncies a un pla

Full 3 de 6

Entre dos punts

És el mòdul del vector que els uneix: d(A, B) = |AB|. Amb A(1, −2, 3) i B(5, 4, −1), AB = (4, 6, −4) i d = √68 = 2√17 ≈ 8,25.

Distància d'un punt a una recta

Full 4 de 6

Pel producte vectorial

Amb A un punt de la recta i v el director, |AP × v| és l'àrea del paral·lelogram de costats AP i v. Dividida per la base |v| dona l'altura, que és la distància:

Rectes que es creuen: distància i perpendicular comuna

Full 5 de 6

Dues rectes que es creuen (U5: [u, v, AB] ≠ 0) tenen una única recta que les talla totes dues perpendicularment, la perpendicular comuna. El segment que en queda entre r i s és la distància més curta entre les dues.

Àrees, volums i llocs geomètrics

Full 6 de 6

Recordatori de la U4

Amb les distàncies d'aquesta unitat, el volum del tetraedre també és 1 3 · àrea de la base · altura, i l'altura és la distància del quart vèrtex al pla de la base. Exemple: el tetraedre que limiten el pla 6x + 3y + 2z = 6 i els plans…