Problemas métricos

Ángulos entre rectas y planos

Hoja 1 de 6

Todos los ángulos se calculan con el producto escalar de la U4, eligiendo bien qué vectores entran: el director para una recta y el normal para un plano. El resultado siempre es un ángulo de 0° a 90°, y por eso el producto escalar va en valor…

Proyecciones ortogonales y puntos simétricos

Hoja 2 de 6

La proyección ortogonal de un punto es el pie de la perpendicular: el punto más cercano de la recta o del plano. El simétrico está al otro lado, a la misma distancia, y la proyección M es su punto medio:

Distancias a un plano

Hoja 3 de 6

Entre dos puntos

Es el módulo del vector que los une: d(A, B) = |AB|. Con A(1, −2, 3) y B(5, 4, −1), AB = (4, 6, −4) y d = √68 = 2√17 ≈ 8,25.

Distancia de un punto a una recta

Hoja 4 de 6

Por el producto vectorial

Con A un punto de la recta y v el director, |AP × v| es el área del paralelogramo de lados AP y v. Dividida entre la base |v| da la altura, que es la distancia:

Rectas que se cruzan: distancia y perpendicular común

Hoja 5 de 6

Dos rectas que se cruzan (U5: [u, v, AB] ≠ 0) tienen una única recta que las corta a ambas perpendicularmente, la perpendicular común. El segmento que queda entre r y s es la distancia más corta entre las dos.

Áreas, volúmenes y lugares geométricos

Hoja 6 de 6

Recordatorio de la U4

Con las distancias de esta unidad, el volumen del tetraedro también es 1 3 · área de la base · altura, y la altura es la distancia del cuarto vértice al plano de la base. Ejemplo: el tetraedro que limitan el plano 6x + 3y + 2z = 6 y los planos…