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U6

PAU · Problemas métricos

86 problemas de pruebas de acceso sobre distancias, ángulos, proyecciones y puntos simétricos. Inténtalos antes de abrir la solución.

  • 86 problemas
  • 28 con criterios oficiales
  • Convocatorias 2021–2026

Traducción en curso. Las soluciones de esta página se están traduciendo al castellano. Mientras tanto, algunas aparecen en catalán, y también los enunciados originales de Baleares, Cataluña y la Comunidad Valenciana.

Teoría de la unidadU6 · Problemas métricos · 6 hojas resumen →

Extraordinaria 2026

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 4.1

    Resuelto aquíCastellano

    Considera la recta r ≡ {x = −2λ; y = −1 + 2λ; z = 3 + 2λ} y el plano π ≡ x − 2y + z − 3 = 0.

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  2. AST

    Asturias · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4A

    Resuelto aquíCastellano

    Dado el plano π ≡ 2x + 2y + z = 5:

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  3. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2026 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional, se conoce que el siguiente plano y recta son secantes:

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  4. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2026 · Tarea 3

    Resuelto aquíCastellano

    Considera los puntos A = (0, 5, −1) y B = (−3, 11, −10), y la recta r: x − 31 = y + 2−2 = z3.

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  5. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.2

    Criterios oficialesCastellano

    Sean los puntos del espacio A(1, 2, −1), B(3, 6, 1) y C(m, m, m − 2), donde m es un número real.

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  6. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 4 · Opción B

    Resuelto aquíCatalán

    L'Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex A(1, 1, 1) fins al vèrtex B(4, 1, 5), i l'altre costat de la tapa des del vèrtex A fins al vèrtex C(1,…

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  7. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2026 · Pregunta 3.1

    Criterios oficialesCatalán

    Es consideren els punts de l'espai A(0, −1, 0) i B(1, 0, 1), i el vector v = (2, −1, 1).

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  8. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2026 · Pregunta 3.2

    Criterios oficialesCatalán

    Donat el pla π: 2x + 3y − z = 0 i els punts A(0, 0, 0), B(10, 0, −20), C(0, 15, −30) i D(1, 2, −1):

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  9. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 3.A

    Resuelto aquíCastellano

    Dados los puntos A(4, 3, 3), B(3, 3, 4), C(1, 0, 4) y D(4, 0, 1),

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  10. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 3.B

    Resuelto aquíCastellano

    Dados los planos π1: x + ky − 3z − 6 = 0, π2: 2x − y − 5 = 0 y el punto A(2, 3, −4):

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  11. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.1

    Criterios oficialesGallego

    Considere a recta r: x − 12 = y − 11 = z3.

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  12. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.2

    Criterios oficialesGallego

    Considere o punto P(3, 0, −1).

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  13. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2026 · Pregunta 5.1

    Resuelto aquíCastellano

    Sean la recta r: x3 = y = z − 11−1 y el punto P = (0, 1, 1).

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  14. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2026 · Cuarto ejercicio (4A)

    Resuelto aquíCastellano

    Sea P el punto de corte de las rectas r1 ≡ {x = 1 + t, y = 0, z = −t} y r2 ≡ {x = s, y = −1 + s, z = 0}. Calcula el punto P′ simétrico de P con respecto al plano de ecuación 2x + y − z = 3.

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  15. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2026 · Cuarto ejercicio (4B)

    Resuelto aquíCastellano

    Sea r la recta que pasa por el punto P(1, 7, 4) y cuyo vector director es v = (6, 3, −5) y sea π ≡ 2x + y − 3z = −13.

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  16. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.2

    Criterios oficialesCastellano

    Se consideran el punto P(1, 2, 1) y el plano de ecuación 2x − 2y + z = 1. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto P.

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Extraordinaria 2023

  1. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2023 · Pregunta A.3

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  2. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2023 · Pregunta B.3

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  3. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 7 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Considera los planos π1 ≡ x − y + z = 0 y π2 ≡ x + y = 2.

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  4. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 8 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos A(0, 2, −2), B(3, 2, 1) y C(2, 3, 2) con los planos cartesianos.

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  5. AST

    Asturias · Extraordinaria 2023 · Pregunta 6

    Resuelto aquíCastellano

    Dados dos planos π ≡ x + y + z = 3, π′ ≡ x + y = 3 y el punto A = (2, 1, 6)

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  6. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2023 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional tenemos el punto y la recta siguientes:

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  7. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1 punto] Calcula el límite siguiente:

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  8. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2023 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCatalán

    Siguin r1 i r2 les rectes definides per r1: x − 1 = y = −z i per r2: x = y = z, respectivament.

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  9. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) La proyección ortogonal del punto P(1, 0, −1), sobre el plano π es el punto Q(−3, 2, 5). Halla la ecuación del plano π y las coordenadas del punto simétrico del P respecto a dicho plano π.

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  10. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2023 · Cuestión 5

    Criterios oficialesCastellano

    Los puntos A = (6, −4, 4) y B = (12, −1, 1) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice C es la proyección ortogonal del vértice A sobre la recta

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Ordinaria 2023

  1. ARA

    Aragón · Ordinaria 2023 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    El plano π ≡ 2x + by − 2z + 4 = 0, b ∈ ℝ y b ≠ 0, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos A, B y C. Calcula los valores de b ∈ ℝ tal que el área del triángulo que determinan estos tres puntos A, B y C sea 6 u2.

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  2. CAN

    Canarias · Ordinaria 2023 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional consideramos el plano y las rectas siguientes:

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  3. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2023 · Ejercicio 8

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Halla el punto simétrico del punto A(0, 2, 3) respecto al plano π de ecuación x + y − z = 4.

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  4. MUR

    Murcia · Ordinaria 2023 · Cuestión 5

    Criterios oficialesCastellano

    Considere las siguientes rectas:

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  5. PV

    País Vasco · Ordinaria 2023 · Ejercicio A2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea r la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:

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Extraordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 8 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Sean el plano π ≡ x + y − z = 2 y la recta r ≡ x = y3 = z − 1.

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  2. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2022 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCatalán

    Donats els punts A(1, 1, 1), B(0, 0, −2), C(2, −1, 0), D(−1, 2, −1) i E(0, 0, 0).

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  3. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    Considera la recta r: x + 1−1 = y + 32 = z1 y el plano π: x − 2y − z = −1.

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  4. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 4

    Resuelto aquíCastellano

    Sea el punto A = (1, 0, 1) y el plano π ≡ x + y + z = 8.

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  5. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2022 · Serie 3 · Problema 1

    Resuelto aquíCatalán

    El pal central que sosté la lona de la carpa d'un circ se situa perpendicularment sobre el pla d'un terra l'equació del qual és π: x − z = 6. Sabem que la cúpula de la carpa (el punt més alt per on passa el pal) és al punt de coordenades P…

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  6. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2022 · Problema 4

    Criterios oficialesCastellano

    Dados los puntos A = (2, 1, −2) y B = (3, 2, 3), y el plano π definido por 2x + 2y + z = 3, obtener:

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  7. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2022 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Dados los puntos A = (0, 0, 2) y B = (1, 1, 0) y la recta

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  8. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2022 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Sean las rectas:

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  9. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2022 · Pregunta 5

    Resuelto aquíGallego

    Xeometría (2 puntos)

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  10. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2022 · Pregunta A.3

    Criterios oficialesCastellano

    Sean el plano π ≡ z = x y los puntos A(0, −1, 0) y B(0, 1, 0) pertenecientes al plano π.

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  11. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2022 · Pregunta B.3

    Criterios oficialesCastellano

    Sean las rectas r ≡ { x + y + 2 = 0; y − 2z + 1 = 0 } y s ≡ { x = 2 − 2t; y = 5 + 2t; z = t }, t ∈ ℝ.

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  12. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2022 · Problema 4

    Resuelto aquíCastellano

    Encuentra los puntos de la recta

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Ordinaria 2022

  1. AST

    Asturias · Ordinaria 2022 · Bloque 3.B

    Resuelto aquíCastellano

    Dados dos planos π ≡ x + y + z = 3, π′ ≡ x + y = 3 y el punto A = (2, 1, 6)

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  2. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2022 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCatalán

    Del paral·lelogram (quadrilàter els costats oposats del qual són paral·lels) ABCD, es coneixen els vèrtexs consecutius A(1, 0, −1), B(2, 1, 0) i C(4, 3, −2).

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  3. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2022 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    Los puntos A = (2, 0, 0), B = (−1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice se encuentra en la recta

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  4. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2022 · Ejercicio E4

    Resuelto aquíCastellano

    Considere el punto P = (2, 2, 1) y el plano π ≡ 2x + 3y − 3z + 6 = 0.

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  5. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2022 · Problema 4

    Criterios oficialesCastellano

    Dados los planos π1: 2x − y − z + 4 = 0 y

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  6. EXT

    Extremadura · Ordinaria 2022 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Dados el plano π de ecuación x + 2y − z = 0 y r la recta de ecuaciones

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  7. MAD

    Madrid · Ordinaria 2022 · Pregunta A.3

    Criterios oficialesCastellano

    Con un dispositivo láser situado en el punto P(1, 1, 1) se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones r ≡ { 2x − y = 10; x − z = −90 }.

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  8. MAD

    Madrid · Ordinaria 2022 · Pregunta B.3

    Criterios oficialesCastellano

    Sean el plano π ≡ x + y + z = 1, la recta r1 ≡ { x = 1 + λ; y = 1 − λ; z = −1 }, λ ∈ ℝ y el punto P(0, 1, 0).

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  9. PV

    País Vasco · Ordinaria 2022 · Ejercicio A2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Se consideran la recta r cuyas ecuaciones paramétricas son:

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  10. PV

    País Vasco · Ordinaria 2022 · Ejercicio B2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sean el punto P = (1, 2, a), donde a ≠ 0, y el plano π ≡ x + y + 2z = 3. Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto al plano π.

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Extraordinaria 2021

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 7 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

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  2. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 8 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

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  3. AST

    Asturias · Extraordinaria 2021 · Bloque 3.A

    Resuelto aquíCastellano

    Sea el tetraedro de la figura formado por A(3, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 6) y D(α, 3, 1). Calcula:

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  4. AST

    Asturias · Extraordinaria 2021 · Bloque 3.B

    Resuelto aquíCastellano

    Sean el punto P(1, 0, 1) y la recta r: { x + y + z = 0; x + z = 0 }. Calcula:

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  5. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    Ejercicio 3 [2.5 PUNTOS] Considera los puntos A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1), C = (−1, 0, 1) y el origen de coordenadas O.

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  6. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 4

    Resuelto aquíCastellano

    Sean los planos π1 ≡ a · x + y + 2 · z = 3 y π2 ≡ 2 · x − y + a · z = 0.

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  7. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2021 · Problema 5

    Criterios oficialesCastellano

    Dados los puntos P(1, 1, 0), Q(2, −1, 1) y R(α, 3, −1) se pide:

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  8. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2021 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Sean las rectas r y s dadas por

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  9. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2021 · Pregunta 6

    Resuelto aquíCastellano

    Geometría (2 puntos)

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  10. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2021 · Pregunta A.3

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  11. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2021 · Pregunta B.3

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  12. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2021 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCastellano

    Considere las rectas de ecuaciones

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  13. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2021 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCastellano

    Los puntos A = (2, 0, 0) y B = (−1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice C se encuentra en la recta r dada por

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  14. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2021 · Problema 3

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

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  15. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2021 · Problema 4

    Resuelto aquíCastellano

    Halla un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro (0, 0, 0), y que corte perpendicularmente a la recta

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  16. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2021 · Ejercicio A2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea r la recta de ecuaciones paramétricas {x = t, y = 2 + 2t, z = 1 + 3t}, y sean A = (1, 2, 3) y B = (3, 2, 1). Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta r y que pasa por los puntos A y B. Calcular la distancia de…

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  17. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2021 · Ejercicio B2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sean los puntos A = (0, 2, 1), B = (1, b, 0), C = (−1, 0, 2) y D = (1, 1, 1).

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Ordinaria 2021

  1. AST

    Asturias · Ordinaria 2021 · Bloque 3.A

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las rectas

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  2. AST

    Asturias · Ordinaria 2021 · Bloque 3.B

    Resuelto aquíCastellano

    Dados los puntos A(1, 1, 0) y B(0, 0, 2) y la recta r: { x = 1; y = 1 + λ; z = 1 + λ }. Halla:

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  3. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2021 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCatalán

    Considera els punts

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  4. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2021 · Ejercicio 4

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1,25 puntos] Sea el punto P(1, 0, 1) y la recta r ≡ x + 11 = y1 = z − 1−1. Calcula razonadamente la distancia del punto P a la recta r.

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  5. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2021 · Ejercicio E3

    Resuelto aquíCastellano

    a) Hallar la recta perpendicular al plano π ≡ x + y + z = 1 que pasa por el punto A = (0, 0, 0). (0,8 puntos)

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  6. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 2 · Problema 3

    Resuelto aquíCatalán

    Considereu el punt P = (−1, 3, 1), el pla π: x = y i la recta r: x − 12 = y3 = z − 2.

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  7. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2021 · Problema 5

    Criterios oficialesCastellano

    Dados el punto P(1, 2, 3) y el plano π ≡ 3x + 2y + z + 4 = 0, se pide:

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  8. EXT

    Extremadura · Ordinaria 2021 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Dados el plano Π ≡ kx + y − z = 0 y la recta r ≡ x − 42 = y − 21 = z + 2−1.

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  9. EXT

    Extremadura · Ordinaria 2021 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Sea el plano Π ≡ x + y + z = 1. Encontrar un plano paralelo a Π tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área 2√3. (2 puntos)

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  10. GAL

    Galicia · Ordinaria 2021 · Pregunta 5

    Resuelto aquíCastellano

    Geometría (2 puntos)

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  11. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2021 · Ejercicio 8

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(2, −1, 1) y corta perpendicularmente a la recta

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  12. MAD

    Madrid · Ordinaria 2021 · Pregunta A.3

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  13. MAD

    Madrid · Ordinaria 2021 · Pregunta B.3

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  14. NAV

    Navarra · Ordinaria 2021 · Problema 3

    Resuelto aquíCastellano

    Encuentra la ecuación general del plano π que es paralelo a las rectas

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  15. NAV

    Navarra · Ordinaria 2021 · Problema 4

    Resuelto aquíCastellano

    Un lado de un paralelogramo está sobre la recta r ≡ x − 1 −2 = y + 1 −1 = z − 1 2 . Otro lado lo determinan los puntos A(−1, −2, 3) y B(2, −2, −1). Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide 16 u. (2.5…

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  16. PV

    País Vasco · Ordinaria 2021 · Ejercicio B2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P = (−2, 1, 0) y corta perpendicularmente a la recta r de ecuaciones paramétricas {x = 1 − 2t, y = 1 + t, z = t}.

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