Límites y continuidad

La idea de límite. Límites laterales

Hoja 1 de 6

Decimos que lim_x→a f(x) = L cuando, al acercar x a a tanto como queramos (sin llegar a ser a), los valores f(x) se acercan tanto como queramos a L. Lo que pasa exactamente en x = a no cuenta: f(a) puede no existir o valer otra cosa.

Límites en el infinito y operaciones

Hoja 2 de 6

lim_x→+∞ f(x) describe qué hace la gráfica hacia la derecha; lim_x→−∞ f(x), hacia la izquierda. Puede dar un número L (la gráfica se estabiliza: asíntota horizontal), ±∞, o no existir (sen x oscila y no tiene límite en el infinito).

Indeterminaciones en un punto y el número e

Hoja 3 de 6

El primer paso es siempre sustituir. Si sale un número, ese es el límite. Solo si sale una de las formas siguientes hay que trabajar.

Continuidad y tipos de discontinuidad

Hoja 4 de 6

Intuitivamente, una función es continua si la gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz. La definición precisa es puntual: f es continua en x = a si se cumplen las tres condiciones

Funciones a trozos con parámetro

Hoja 5 de 6

Método

1. Dentro de cada trozo: cada expresión es elemental y es continua en su dominio. Mira si algún denominador se anula, o algún radicando es negativo, dentro del intervalo donde actúa.
2. En los puntos de unión: calcula f(a), el lateral izquierdo con el trozo de la izquierda y el derecho con el de la derecha.
3. Iguálalos para hallar el parámetro y concluye para cada valor.

Ejemplo 1

f(x) = ax + 1 si x < 2, f(x) = x² − a si x ≥ 2. Los dos trozos son polinomios: solo hay que mirar x = 2.

Asíntotas y ramas infinitas

Hoja 6 de 6

Hacia un mismo lado (+∞ o −∞), una función no puede tener a la vez asíntota horizontal y oblicua. La gráfica de una racional no corta nunca una asíntota vertical (x = a no es del dominio); una horizontal u oblicua, sí que puede cortarla…