CAESEntra
← Matemàtiques II · Problemes
RECULL

Exercicis del Bloc 1

Trenta-un exercicis amb la solució plegada a sota. Obre-la només després d'haver-ho intentat: llegir una solució abans d'intentar-ho no deixa cap rastre.

  • 31 exercicis
  • 6 apartats
  • Matrius · Determinants · Sistemes
Teoria de la unitatU1 · Àlgebra de matrius · 3 fulls resum →

A · Potències de matrius

A tots: calcula A² i A³ abans de decidir quin mètode toca.

  1. A1

    Conjectura An i demostra-ho per inducció.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  2. A2

    Troba An.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  3. A3

    Calcula A², A³ i A⁴. Dedueix A100 i A2027.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  4. A4

    Escriu-la com I + N, comprova que N³ = 0 i obté An pel binomi de Newton. Verifica-ho amb n = 2.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  5. A5

    Comprova que A² = 2A i dedueix raonadament An.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte

B · Determinants, inversa i equacions matricials

  1. B1

    Calcula la inversa i comprova que A·A−1 = I.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  2. B2

    Troba la inversa pel mètode dels adjunts.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  3. B3

    Determina per a quins valors de k existeix A−1.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  4. B4

    Resol l'equació matricial A·X = B.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  5. B5

    Resol ara X·A = B i explica per què el resultat és diferent del de B4.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte

C · Rang i menors orlats

  1. C1

    Calcula el rang.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  2. C2

    Calcula el rang.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  3. C3

    Discuteix el rang segons els valors de a.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  4. C4

    Discuteix el rang segons els valors de k.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  5. C5

    Raona primer quin és el rang màxim possible i calcula'l després.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  6. C6

    En una matriu 3 × 5 has trobat un menor d'ordre 2 no nul. Quants orlats has de calcular per saber si el rang és 2 o 3? I si la matriu fos la seva ampliada 3 × 6?

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte

D · Discussió de sistemes amb paràmetre

  1. D1

    Discuteix i resol segons els valors de m.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  2. D2

    El mateix sistema amb un sol canvi al terme independent de la tercera equació. Discuteix-lo i compara el resultat amb D1: què ha canviat i per què?

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  3. D3

    Discuteix i resol segons els valors de k. Abans de calcular: hi ha algun valor que el faci incompatible?

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  4. D4

    Discuteix-lo pels rangs de A i A*, amb menors orlats, i resol-lo quan sigui compatible.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  5. D5

    Discuteix segons a i indica en cada cas el nombre de paràmetres de la solució.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  6. D6

    Estudia'l segons k i raona per què aquest sistema no pot ser incompatible.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte

E · Més incògnites que equacions

A tots: abans de calcular res, indica quantes equacions i quantes incògnites hi ha, i quines classificacions queden descartades només per la forma de la matriu.

  1. E1

    Discuteix i resol.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  2. E2

    Discuteix.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  3. E3

    Discuteix i resol.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  4. E4

    Justifica, sense resoldre'l, que té solucions diferents de la trivial. Troba-les després.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  5. E5

    Discuteix segons els valors de m.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  6. E6

    Pot un sistema de 3 equacions amb 5 incògnites ser compatible determinat? Justifica la resposta sense recórrer a cap exemple concret.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte

F · Problemes de síntesi, tipus PBAU

  1. F1

    Calcula A2026 i comprova que A−1 és la matriu que s'indica.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  2. F2

    Troba els valors de m per als quals el rang és menor que 3, i determina el rang en cada un d'aquests casos.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte
  3. F3

    Estudia la compatibilitat segons els valors de k. Abans de calcular determinants, compara la tercera equació amb les dues primeres.

    Contingut premium. L'enunciat complet i la solució pas a pas són per als membres premium.

    Fes-te premiumJa tinc compte