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RECOPILACIÓN

Ejercicios del Bloque 1

Treinta y un ejercicios con la solución plegada debajo. Ábrela solo después de haberlo intentado: leer una solución antes de intentarlo no deja ningún rastro.

  • 31 ejercicios
  • 6 apartados
  • Matrices · Determinantes · Sistemas

Traducción en curso. Las soluciones de esta página se están traduciendo al castellano. Mientras tanto, algunas aparecen en catalán, y también los enunciados originales de Baleares, Cataluña y la Comunidad Valenciana.

Teoría de la unidadU1 · Álgebra de matrices · 3 hojas resumen →

A · Potencias de matrices

A todos: calcula A² y A³ antes de decidir qué método toca.

  1. A1

    Conjectura An i demostra-ho per inducció.

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  2. A2

    Troba An.

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  3. A3

    Calcula A², A³ i A⁴. Dedueix A100 i A2027.

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  4. A4

    Escriu-la com I + N, comprova que N³ = 0 i obté An pel binomi de Newton. Verifica-ho amb n = 2.

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  5. A5

    Comprova que A² = 2A i dedueix raonadament An.

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B · Determinantes, inversa y ecuaciones matriciales

  1. B1

    Calcula la inversa i comprova que A·A−1 = I.

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  2. B2

    Troba la inversa pel mètode dels adjunts.

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  3. B3

    Determina per a quins valors de k existeix A−1.

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  4. B4

    Resol l'equació matricial A·X = B.

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  5. B5

    Resol ara X·A = B i explica per què el resultat és diferent del de B4.

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C · Rango y menores orlados

  1. C1

    Calcula el rang.

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  2. C2

    Calcula el rang.

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  3. C3

    Discuteix el rang segons els valors de a.

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  4. C4

    Discuteix el rang segons els valors de k.

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  5. C5

    Raona primer quin és el rang màxim possible i calcula'l després.

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  6. C6

    En una matriu 3 × 5 has trobat un menor d'ordre 2 no nul. Quants orlats has de calcular per saber si el rang és 2 o 3? I si la matriu fos la seva ampliada 3 × 6?

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D · Discusión de sistemas con parámetro

  1. D1

    Discuteix i resol segons els valors de m.

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  2. D2

    El mateix sistema amb un sol canvi al terme independent de la tercera equació. Discuteix-lo i compara el resultat amb D1: què ha canviat i per què?

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  3. D3

    Discuteix i resol segons els valors de k. Abans de calcular: hi ha algun valor que el faci incompatible?

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  4. D4

    Discuteix-lo pels rangs de A i A*, amb menors orlats, i resol-lo quan sigui compatible.

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  5. D5

    Discuteix segons a i indica en cada cas el nombre de paràmetres de la solució.

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  6. D6

    Estudia'l segons k i raona per què aquest sistema no pot ser incompatible.

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E · Más incógnitas que ecuaciones

A todos: antes de calcular nada, indica cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas hay, y qué clasificaciones quedan descartadas solo por la forma de la matriz.

  1. E1

    Discuteix i resol.

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  2. E2

    Discuteix.

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  3. E3

    Discuteix i resol.

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  4. E4

    Justifica, sense resoldre'l, que té solucions diferents de la trivial. Troba-les després.

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  5. E5

    Discuteix segons els valors de m.

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  6. E6

    Pot un sistema de 3 equacions amb 5 incògnites ser compatible determinat? Justifica la resposta sense recórrer a cap exemple concret.

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F · Problemas de síntesis, tipo PAU

  1. F1

    Calcula A2026 i comprova que A−1 és la matriu que s'indica.

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  2. F2

    Troba els valors de m per als quals el rang és menor que 3, i determina el rang en cada un d'aquests casos.

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  3. F3

    Estudia la compatibilitat segons els valors de k. Abans de calcular determinants, compara la tercera equació amb les dues primeres.

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