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U12

PAU · La integral definida

72 problemas de pruebas de acceso sobre integral definida, regla de Barrow y áreas de recintos. Inténtalos antes de abrir la solución.

  • 72 problemas
  • 14 con criterios oficiales
  • Convocatorias 2021–2026

Traducción en curso. Las soluciones de esta página se están traduciendo al castellano. Mientras tanto, algunas aparecen en catalán, y también los enunciados originales de Baleares, Cataluña y la Comunidad Valenciana.

Teoría de la unidadU12 · La integral definida · 7 hojas resumen →

Extraordinaria 2026

  1. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2026 · Problema 2

    Criterios oficialesCatalán

    Donada la funció f(x) = x4 − 6x3 + ex√x√x, que té la representació gràfica següent (no reproduïda aquí; no cal per resoldre'l):

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  2. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2026 · Pregunta 2

    Resuelto aquíCastellano

    Existen funciones que aunque tienen primitivas, estas no pueden expresarse en términos de funciones elementales y no podemos calcularlas. Un ejemplo es f(x) = sen(x 2 ). Aunque no la podemos calcular, vamos a llamar F(x) a la primitiva de…

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  3. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.2

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Sea f(x) = −x3 + 4x2 + x − 4. Calcula el área de la región delimitada por f(x) y la recta tangente a f(x) en x = 2.

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  4. AST

    Asturias · Extraordinaria 2026 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    Una tenista profesional quiere analizar la calidad de su saque. Para ello, los entrenadores han colocado sensores que miden la velocidad instantánea de la pelota desde que abandona la raqueta. En el momento en que la pelota sale de la…

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  5. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2026 · Pregunta 2

    Criterios oficialesCastellano

    En la toma de un antibiótico vía oral, la concentración en sangre (mg/l) tras su administración se puede modelizar como la función C(t) = 12tt2 + 4, donde t es el tiempo transcurrido, en horas, desde la toma.

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  6. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2026 · Pregunta 5.2

    Criterios oficialesCastellano

    a) [1,25 puntos] Calcula razonadamente el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = 3x y g(x) = −x + 4.

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  7. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 3.3

    Criterios oficialesGallego

    Dadas as funcións f(x) = cos x e g(x) = 4π2(x − π2)2, debuxe a rexión encerrada polas súas gráficas e calcule a súa área.

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  8. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.1

    Resuelto aquíCastellano

    Halla el área total de la figura limitada por y = x3, y = 2x e y = x. [2 puntos]

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  9. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.2

    Resuelto aquíCastellano

    Considere la función f(x) = 12 + cos(x), donde la variable x está expresada en radianes.

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  10. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2026 · Quinto ejercicio (5B)

    Resuelto aquíCastellano

    (a) (1 punto) Dibuja el recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2 − π2 y la gráfica de la función f(x) = cos(x2).

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  11. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2026 · Pregunta 5.2

    Criterios oficialesCastellano

    (2 puntos) Halle el valor real a tal que

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Ordinaria 2026

  1. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2026 · Ejercicio 1

    Resuelto aquíCatalán

    Considereu la funció definida a trossos següent:

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Extraordinaria 2023

  1. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2023 · Pregunta B.2

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  2. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 3 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Calcula a con 0 < a < 1, tal que

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  3. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 4 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Considera las funciones f : ℝ → ℝ y g : ℝ − {0} → ℝ definidas por f(x) = 5 − x2 y g(x) = 4x2.

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  4. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    Considere la función f(x) = sen(x).

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  5. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Dibuja el recinto limitado por las parábolas y = x2 − 8x, e y = 10 − x2. Calcula su área.

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  6. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2023 · Ejercicio B4

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones y = 2x2 − 4x + 3 e y = x2 − 2x + 3 y calcula el área de ese recinto.

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Ordinaria 2023

  1. ARA

    Aragón · Ordinaria 2023 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = −x2 + 4x y la recta de pendiente 12 que corta a f(x) en x = 72.

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  2. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2023 · Problema 6

    Criterios oficialesCatalán

    [10 punts] Representa la regió compresa entre la corba f(x) = 2xx2 + 1, l'eix d'abscisses (eix OX) i les rectes x = 0 i x = 7. Calcula'n l'àrea.

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  3. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2023 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    Considere la función f(x) = x3 + 1.

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  4. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2023 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Halla el área del recinto encerrado por las gráficas de las parábolas y = x2 − 2x + 1 e y = −2x2 + 2x.

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  5. PV

    País Vasco · Ordinaria 2023 · Ejercicio A4

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado inferiormente por la curva de ecuación y = x24 y superiormente por las curvas de ecuaciones y = 4x2 e y = 4. Calcula el área de ese recinto.

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Extraordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 3 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Calcula

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  2. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 4 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Considera las funciones f, g : ℝ → ℝ definidas por f(x) = x³ + 2 y g(x) = −x² + 2x + 2.

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  3. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2022 · Pregunta 1

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la siguiente función:

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  4. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2022 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

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  5. AST

    Asturias · Extraordinaria 2022 · Bloque 2.B

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la función f(x) = − sen(2x) + 1,

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  6. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2022 · Cuestión 3

    Resuelto aquíCatalán

    Donades les funcions f(x) = x2 − 4x i g(x) = 4 − 4x.

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  7. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2022 · Pregunta 1B

    Resuelto aquíCastellano

    Considera las siguientes funciones: y = 3x − x2; y = x − 3

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  8. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    Considere la función f(x) = 3x.

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  9. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 5

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1 punto] Sea el plano π ≡ x − 3y + z = 0 y los puntos A = (0, 0, −1) y B = (1, 1, 1). Obtén el plano perpendicular a π y que contiene a A y B.

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  10. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2022 · Ejercicio E6

    Resuelto aquíCastellano

    a) Calcule límx→0ln(1 + x)ex − 1. (1 punto)

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  11. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2022 · Ejercicio E8

    Resuelto aquíCastellano

    a) Estudie el signo de la función f(x) = x3 − 4x2 + 3x en el intervalo [0, 2]. (0,5 puntos)

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  12. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2022 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    Hallar el parámetro positivo a ∈ ℝ tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones f(x) = x2 y g(x) = ax sea 43. (2 puntos)

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  13. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2022 · Problema 8

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones:

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  14. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2022 · Ejercicio B4

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x, g(x) = x8 y h(x) = 1x2 y calcula el área de ese recinto.

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Ordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Ordinaria 2022 · Ejercicio 3 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Sea f la función definida por

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  2. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2022 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    a) Sea la curva f(x) = a − x2.

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  3. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2022 · Ejercicio 5

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1 punto] Expresa razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos π1 ≡ x = y + 1 y π2 ≡ y + 2z = 5.

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  4. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2022 · Ejercicio E7

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las curvas de ecuaciones y = √(3x), y = 13x2,

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  5. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2022 · Ejercicio E8

    Resuelto aquíCastellano

    a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de f(x) = x3 − 4x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. (1 punto)

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  6. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 2 · Problema 1

    Resuelto aquíCatalán

    Sigui f ′(x) = 3x2 − 12x la derivada d'una funció f(x).

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  7. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 2 · Problema 4

    Resuelto aquíCatalán

    a) Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g″(x) = 2x + 1. [1 punt]

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  8. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 5 · Problema 2

    Resuelto aquíCatalán

    Considereu la funció f(x) = x3 i sigui a un nombre real estrictament positiu.

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  9. EXT

    Extremadura · Ordinaria 2022 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = sen(2x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = π. (2 puntos)

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  10. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2022 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Halla el área de la región que delimita la gráfica de la función g(x) = x sen x y el eje de las abscisas en el intervalo que va de x = 0 al menor valor b > 0 tal que g(b) = 0.

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  11. NAV

    Navarra · Ordinaria 2022 · Problema 8

    Resuelto aquíCastellano

    Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

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  12. PV

    País Vasco · Ordinaria 2022 · Ejercicio B4

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = ex, g(x) = e−x y la recta horizontal y = e, y calcula el área de ese recinto.

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Extraordinaria 2021

  1. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2021 · Pregunta 1

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la siguiente función

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  2. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2021 · Pregunta 1B

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las funciones: f(x) = x2 − 4x; g(x) = 4 − 4x

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  3. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    Ejercicio 6 [2.5 PUNTOS] Considera la función f(x) = −x2 + 4x.

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  4. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2021 · Serie 1 · Problema 2

    Resuelto aquíCatalán

    a) Donada la funció f(x) = 4x, calculeu l'equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt d'abscissa x = 1. Trobeu també l'equació de la recta normal a y = f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts]

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  5. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2021 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las funciones f(x) = 3x − x2 y g(x) = x2 − 2x, calcular el área de la región limitada por sus gráficas. (2 puntos)

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  6. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2021 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Análisis (2 puntos)

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  7. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Sea la función

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  8. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2021 · Problema 8

    Resuelto aquíCastellano

    Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada.

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  9. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2021 · Ejercicio A4

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Dibujar el recinto limitado por las parábolas y = 4x − x2 e y = x2 − 6 y calcular su área.

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Ordinaria 2021

  1. AND

    Andalucía · Ordinaria 2021 · Ejercicio 3 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

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  2. AND

    Andalucía · Ordinaria 2021 · Ejercicio 4 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

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  3. AST

    Asturias · Ordinaria 2021 · Bloque 2.A

    Resuelto aquíCastellano

    Sean las parábolas y1 = x2 − 2x + 3 e y2 = ax2 + b

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  4. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2021 · Cuestión 4

    Resuelto aquíCatalán

    Donada la funció

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  5. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2021 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    Ejercicio 2 [2.5 PUNTOS] Considera la función f(x) = x2.

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  6. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2021 · Ejercicio E7

    Resuelto aquíCastellano

    a) Dadas las funciones f(x) = x2, g(x) = −x2 + 8, hallar los valores de x ∈ ℝ para los que g(x) ≥ f(x). (0,5 puntos)

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  7. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2021 · Ejercicio E8

    Resuelto aquíCastellano

    Hallar los valores de a, b y c para los cuales el polinomio P(x) = ax2 + bx + c cumple las siguientes condiciones:

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  8. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 5 · Problema 2

    Resuelto aquíCatalán

    Siguin les funcions f(x) = x3 − 9x i g(x) = 7x.

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  9. EXT

    Extremadura · Ordinaria 2021 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    Sean las funciones f(x) = x2 y g(x) = √x.

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  10. GAL

    Galicia · Ordinaria 2021 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Análisis (2 puntos)

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  11. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2021 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Calcular el área del recinto limitado por la función f(x) = x + 3(x + 2)2, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 5.

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  12. MAD

    Madrid · Ordinaria 2021 · Pregunta A.2

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  13. NAV

    Navarra · Ordinaria 2021 · Problema 8

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula los valores de las abcisas a y b que aparecen en el gráfico, y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:

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  14. PV

    País Vasco · Ordinaria 2021 · Ejercicio A4

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sean las funciones: f(x) = 1x, g(x) = x2, h(x) = x28.

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