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U9

PAU · Aplicaciones de las derivadas

86 problemas de pruebas de acceso sobre monotonía, extremos, optimización y los teoremas de las funciones derivables. Inténtalos antes de abrir la solución.

  • 86 problemas
  • 29 con criterios oficiales
  • Convocatorias 2021–2026

Traducción en curso. Las soluciones de esta página se están traduciendo al castellano. Mientras tanto, algunas aparecen en catalán, y también los enunciados originales de Baleares, Cataluña y la Comunidad Valenciana.

Teoría de la unidadU9 · Aplicaciones de las derivadas · 7 hojas resumen →

Extraordinaria 2026

  1. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2026 · Problema 4.1

    Criterios oficialesCatalán

    Donada la funció f(x) = x3 + 1x + 2,

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  2. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2026 · Problema 4.2

    Criterios oficialesCatalán

    Un equip d'investigadors estudia la distància recorreguda per un dofí des del punt on ha estat alliberat dins una reserva marina. La distància recorreguda al cap de t segons ve donada per la funció

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  3. AST

    Asturias · Extraordinaria 2026 · Pregunta 2A

    Resuelto aquíCastellano

    Un parque acuático está diseñando un nuevo tobogán curvo que debe ser a la vez rápido y seguro. Para ello, se ha modelado la altura del tobogán sobre el suelo mediante la función h(x) = 12 − 0.4x 2 + 0.03x 3 , donde x es la distancia…

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  4. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 4 · Opción A

    Resuelto aquíCatalán

    L'Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. La construirà a partir d'un cartró rectangular de 80 cm × 50 cm. Del desplegament es retallen i es retiren sis…

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  5. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.2

    Criterios oficialesCatalán

    Un arquitecte dissenya un hivernacle menut per a un jardí. El terra de l'hivernacle té forma de triangle per a maximitzar-ne l'eficiència i la captació de llum. El perímetre total de l'hivernacle està fixat en 60 metres per a complir amb…

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  6. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 2.A

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la función f(x) = exx − 1.

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  7. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 2.B

    Resuelto aquíCastellano

    a) (1,25 puntos) Justifica, indicando los teoremas en los que te basas, que la ecuación x3 − 2x2 + 2x − 2 = 0 tiene una única solución real y encuentra dicha solución con un error menor de una décima.

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  8. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2026 · Pregunta 2

    Resuelto aquíCastellano

    En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia A a 3 km/h y el segundo sale a la misma hora de la iglesia B a 2.8 km/h, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La…

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  9. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 2

    Resuelto aquíCastellano

    Sea P(x, y) un punto del primer cuadrante que está en la gráfica de la función g(x) = √(x + 1).

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  10. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.1

    Resuelto aquíCastellano

    [2 ptos.] Justifique que la derivada de la función f(x) = x ln(x2 + 1) alcanza el valor ln(252) en algún punto del intervalo (1, 2).

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  11. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2026 · Problema 2

    Resuelto aquíCastellano

    Sea y = f(x) la función positiva que cumple la ecuación (x − 1)2 + y2 = 1.

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  12. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2026 · Pregunta 2

    Criterios oficialesCastellano

    (2 puntos) Un diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados…

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  13. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2026 · Pregunta 5.1

    Criterios oficialesCastellano

    (2 puntos) Sea la función f(x) = xln(x).

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Ordinaria 2026

  1. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2026 · Ejercicio 4 · Opción A

    Resuelto aquíCatalán

    L'alcalde d'un poble de Catalunya encarrega a l'arquitecte municipal el disseny d'un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d'haver dos espais ben delimitats: un per a una…

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Extraordinaria 2023

  1. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2023 · Pregunta A.2

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  2. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 1 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Sea la función f : [−2, 2π] → ℝ, definida por

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  3. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 2 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Sea f : (0, +∞) → ℝ la función definida por f(x) = x (ln(x))2 (ln denota la función logaritmo neperiano).

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  4. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2023 · Pregunta 1

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la siguiente función

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  5. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2023 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Descompón el número √3 en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.

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  6. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2023 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Para la siguiente función

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  7. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2023 · Problema 5

    Criterios oficialesCatalán

    La reproducció d'un insecte al llarg del temps segueix la funció f(x) = e−x(2x + 1) sent x ≥ 0 el temps en mesos i f(x) el nombre d'insectes en milions.

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  8. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2023 · Pregunta 1A

    Resuelto aquíCastellano

    Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo:

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  9. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados h, r ∈ ℝ, de…

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  10. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2023 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCatalán

    Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan 10 mm, tal com podeu observar en la figura següent:

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  11. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2023 · Ejercicio B3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea f(x) = x 3 + Ax 2 + Bx + C. Encuentra los valores de los parámetros A, B y C para que f(0) = 2, las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de abscisa x = 1 y x = 3 sean paralelas y f tenga un extremo relativo en…

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Ordinaria 2023

  1. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2023 · Problema 5

    Criterios oficialesCatalán

    La quantitat de tones d'aigua infectada per un bacteri s'espera que segueixi la funció f(x) = e−x + 0.15x + 1 sent x ≥ 0 els dies d'infecció i f(x) les tones d'aigua infectada.

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  2. CAN

    Canarias · Ordinaria 2023 · Pregunta 1B

    Resuelto aquíCastellano

    (2.5 ptos) Se quiere construir una Casa de la Juventud de 240 m2 de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.

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  3. PV

    País Vasco · Ordinaria 2023 · Ejercicio A3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea la función f(x) = x4 − 2x3 + x2. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

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  4. PV

    País Vasco · Ordinaria 2023 · Ejercicio B3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) La función f(x) = Ax 2 + Bx + C es creciente en el intervalo (−∞, 1) y decreciente en el intervalo (1, ∞). Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 2 es perpendicular a la recta de ecuación y = x + 2 y…

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Extraordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 2 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función f : ℝ → ℝ definida por f(x) = −x² + 12 y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

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  2. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2022 · Cuestión 4

    Resuelto aquíCatalán

    Sigui la funció f(x) = 1 − ∛(x2).

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  3. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2022 · Pregunta 1A

    Resuelto aquíCastellano

    Resuelve los siguientes apartados:

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  4. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2022 · Serie 3 · Problema 6

    Resuelto aquíCatalán

    La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d'una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla y = 0 i l'altra és al pla x = 0.

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  5. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2022 · Problema 6

    Criterios oficialesCastellano

    Considerar la función f(x) = e −x 2 para los valores positivos de x. Por cada punto M = (x, f(x)) de la gráfica de f se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, OX y OY. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas,…

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  6. EXT

    Extremadura · Extraordinaria 2022 · Pregunta 6

    Resuelto aquíCastellano

    Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función f(x) = x − ln(x2 + 1). (2 puntos)

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  7. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2022 · Pregunta B.2

    Criterios oficialesCastellano

    Sea la función f(x) = { x si x ≤ 0; x ln(x) si x > 0 }.

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  8. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Halla el valor de a y b para que la curva y = x3 + ax2 + bx + 1 tenga en el punto (x0, −1) un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga 1.

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  9. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2022 · Problema 5

    Resuelto aquíCastellano

    Sea la función f(x) = sin(π4 ln 1x).

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  10. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2022 · Problema 7

    Resuelto aquíCastellano

    Sea la función f(x) = ln(sin πx6 − cos πx6).

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Ordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Ordinaria 2022 · Ejercicio 2 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones f, g : ℝ → ℝ,…

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  2. ARA

    Aragón · Ordinaria 2022 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Para la siguiente función:

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  3. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2022 · Ejercicio 2

    Resuelto aquíCastellano

    Una imprenta debe diseñar un cartel con 90 cm2 de área para texto y además, con margen superior 3 cm, inferior 2 cm y márgenes laterales 4 cm cada uno.

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  4. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2022 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    Considere la función f(x) = x2 e−x.

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  5. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 2 · Problema 6

    Resuelto aquíCatalán

    Al pati d'una escola es vol crear una àrea de joc de 30 m 2 per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte…

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  6. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 5 · Problema 4

    Resuelto aquíCatalán

    A ℝ2, considereu els triangles rectangles que tenen els vèrtexs en els punts O = (0, 0), A = (x, 0) i B = (0, y), amb x > 0 i y > 0, i en què la suma dels catets és 10.

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  7. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2022 · Problema 6

    Criterios oficialesCastellano

    Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m. de longitud.

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  8. MAD

    Madrid · Ordinaria 2022 · Pregunta B.2

    Criterios oficialesCastellano

    Sea f(x) = xx2 + 1.

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  9. MUR

    Murcia · Ordinaria 2022 · Cuestión 3

    Resuelto aquíCastellano

    En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

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  10. NAV

    Navarra · Ordinaria 2022 · Problema 6

    Resuelto aquíCastellano

    Se considera la función f(x) = e1/(sen x + cos x).

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  11. NAV

    Navarra · Ordinaria 2022 · Problema 7

    Resuelto aquíCastellano

    Se considera la función f(x) = ex2 − 2x.

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  12. PV

    País Vasco · Ordinaria 2022 · Ejercicio A3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Dada la función f(x) = (x − 1)2 e−2x, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.

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Extraordinaria 2021

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 2 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

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  2. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 3 (bloque A)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

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  3. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2021 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de 64 m 3 . El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70…

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  4. AST

    Asturias · Extraordinaria 2021 · Bloque 2.B

    Resuelto aquíCastellano

    En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine (ver figura). La forma de la nave es la descrita por la gráfica de la función f(x) = 12 − x 2 3 ≥ 0. Calcula los valores positivos (x, y) que hacen máxima el área de la…

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  5. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2021 · Cuestión 4

    Criterios oficialesCatalán

    El nombre d'individus d'una població en un determinat instant de temps, t, expressat en milions d'individus, ve donat per la funció

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  6. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    Sea la función f(x) = 2x2 + 2x − 23x2 + 3.

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  7. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1 punto] Sea la función f(x) = a · x3 + b · x2 + x − 1, con a, b ∈ ℝ. Determina los valores de a y b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (1, 1) y tenga aquí un punto de inflexión.

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  8. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2021 · Ejercicio E5

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la función f(x) = x5 − 5x − 1, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. (2 puntos)

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  9. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2021 · Ejercicio E8

    Resuelto aquíCastellano

    Se considera la función f(x) = x − cos(x)

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  10. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2021 · Serie 1 · Problema 4

    Resuelto aquíCatalán

    a) En la figura es mostra la gràfica de la funció f(x). Representeu de manera esquemàtica la gràfica de la funció derivada de f(x). Expliqueu el raonament que heu seguit. [1,25 punts]

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  11. CAT

    Cataluña · Extraordinaria 2021 · Serie 1 · Problema 6

    Resuelto aquíCatalán

    Considereu la funció f(x) = x3x − 2.

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  12. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2021 · Problema 3

    Criterios oficialesCastellano

    Dada la función f(x) = x e1 − x², calculad:

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  13. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2021 · Problema 6

    Criterios oficialesCastellano

    Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide (4 + π) metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho…

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  14. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2021 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Análisis (2 puntos)

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  15. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2021 · Pregunta B.2

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  16. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2021 · Cuestión 3

    Criterios oficialesCastellano

    Dada la función f(x) = x2e−x definida para todo valor de x ∈ ℝ, se pide:

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  17. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2021 · Problema 7

    Resuelto aquíCastellano

    Se considera la función f(x) = √(x + sin πx2).

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  18. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2021 · Ejercicio A3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x − 4x2 − 4 y calcular sus máximos y sus mínimos.

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  19. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2021 · Ejercicio B3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea f(x) = x 4 + Ax 2 + Bx + C. Obtener los valores de A, B y C para que en el punto de abscisa x = 0 la recta tangente a la gráfica de f sea y = 2x − 1 y en el punto de abscisa x = 1 la recta tangente a la gráfica de f sea…

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Ordinaria 2021

  1. ARA

    Aragón · Ordinaria 2021 · Pregunta 1

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la siguiente función

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  2. AST

    Asturias · Ordinaria 2021 · Bloque 2.B

    Resuelto aquíCastellano

    Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determina los números de forma que el producto entre ellos sea máximo. (2.5 puntos)

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  3. CAN

    Canarias · Ordinaria 2021 · Pregunta 1B

    Resuelto aquíCastellano

    Se desea construir una caja sin tapa superior (ver Figura 1). Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de…

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  4. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 2 · Problema 1

    Resuelto aquíCatalán

    Considereu la paràbola y = 4 − x2 i un valor a > 0.

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  5. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 2 · Problema 4

    Resuelto aquíCatalán

    Sigui la funció f(x) = ln(x)x definida en el domini x > 0, en què ln és el logaritme neperià.

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  6. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 2 · Problema 6

    Resuelto aquíCatalán

    Considereu la funció f(x) = ex−1 − x − 1.

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  7. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 5 · Problema 4

    Resuelto aquíCatalán

    La resistència al trencament R d'una biga de secció rectangular de base x i altura y és directament proporcional al producte xy 2 ; per tant, R = kxy 2 , en què k és una constant positiva. Disposem d'un tronc de fusta en forma de cilindre…

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  8. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2021 · Serie 5 · Problema 6

    Resuelto aquíCatalán

    Resoleu les dues qüestions següents:

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  9. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2021 · Problema 3

    Criterios oficialesCastellano

    Consideramos la función f(x) = x − 1x(x + 2). Obtened:

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  10. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2021 · Problema 6

    Criterios oficialesCastellano

    Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza…

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  11. GAL

    Galicia · Ordinaria 2021 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    Análisis (2 puntos)

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  12. MAD

    Madrid · Ordinaria 2021 · Pregunta B.2

    Criterios oficialesCastellano

    Calificación máxima: 2.5 puntos.

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  13. MUR

    Murcia · Ordinaria 2021 · Cuestión 3

    Criterios oficialesCastellano

    En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

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  14. NAV

    Navarra · Ordinaria 2021 · Problema 7

    Resuelto aquíCastellano

    Sea la función f(x) = ln(5x − 2 − x sin πx2x2 − 4x + 6).

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  15. PV

    País Vasco · Ordinaria 2021 · Ejercicio A3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 5 + 8x2 − x4. Representar la gráfica de f.

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  16. PV

    País Vasco · Ordinaria 2021 · Ejercicio B3

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea la función f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + A.

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