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U5

PAU · Puntos, rectas y planos en el espacio

91 problemas de pruebas de acceso sobre ecuaciones de planos y rectas y posiciones relativas. Inténtalos antes de abrir la solución.

  • 91 problemas
  • 21 con criterios oficiales
  • Convocatorias 2021–2026

Traducción en curso. Las soluciones de esta página se están traduciendo al castellano. Mientras tanto, algunas aparecen en catalán, y también los enunciados originales de Baleares, Cataluña y la Comunidad Valenciana.

Teoría de la unidadU5 · Puntos, rectas y planos en el espacio · 5 hojas resumen →

Extraordinaria 2026

  1. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2026 · Problema 1

    Criterios oficialesCatalán

    En un estudi d'astronomia, es modelitza una constel·lació artificial formada per satèl·lits que orbiten al voltant de la Terra. Considerant el nostre sistema de coordenades amb origen en el centre de la Terra (on les unitats representen…

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  2. AST

    Asturias · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4B

    Resuelto aquíCastellano

    Para estudiar la cobertura de comunicaciones en una zona montañosa se utilizan tres antenas situadas en los puntos A(1, 2, 1), B(3, 0, 2), C(2, 3, 3) que determinan el plano del terreno en dicha zona. Un dron de mantenimiento se desplaza…

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  3. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2026 · Problema 3A

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Dado el plano π ≡ x + y = 0, el punto A(1, −1, 0) y la recta s ≡ x = y = z. Hallar la recta r, en su forma paramétrica, que pasa por A, está contenida en π, y corta a la recta s.

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  4. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2026 · Pregunta 3

    Resuelto aquíCastellano

    [2 ptos.] Determine la ecuación del plano que contiene al punto P(−2, 2, −2) y a la recta r dada como intersección de dos planos:

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  5. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2026 · Problema 3

    Resuelto aquíCastellano

    Encuentra la ecuación continua de la recta t que pasa por el punto A(2, 4, −2) y corta a las rectas

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  6. MAD

    Madrid · Extraordinaria 2026 · Pregunta 4.1

    Criterios oficialesCastellano

    Sean las rectas r1 ≡ (x, y, z) = (1 + t, 1, 0) y r2 ≡ (x, y, z) = (1 + s, s, 0), t, s ∈ ℝ.

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Extraordinaria 2023

  1. AST

    Asturias · Extraordinaria 2023 · Pregunta 5

    Resuelto aquíCastellano

    Sea s la recta de ecuación x − 2 = y − 2−1 = z, y r la recta que pasa por los puntos A = (1, 0, 1) y B = (2, 1, 2).

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  2. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2023 · Problema 3

    Criterios oficialesCatalán

    Siguin els punts A = (1, 2, 0), B = (−1, 0, 1), C = (0, 0, 1) i D = (3, 1, 2).

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  3. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2023 · Problema 4

    Criterios oficialesCatalán

    Sigui el pla π : 3x + y + z = 2 i els punts P = (0, 1, 1) i Q = (2, −1, −3).

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  4. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2023 · Pregunta 3B

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

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  5. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    A) [1,5 PUNTOS] Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto (2, −1, 0). Es decir, de aquellas que tienen vector director (v1, v2, v3), donde v1, v2, v3 ∈ ℝ son parámetros.

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  6. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    Considere el par de rectas

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  7. CLM

    Castilla-La Mancha · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 4

    Resuelto aquíCastellano

    Sean el plano π ≡ a · x + y − z = 1, con a ∈ ℝ, y los puntos A(1, 0, 0) y B(b, 1, −1), con b ∈ ℝ.

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  8. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2023 · Cuestión 6

    Criterios oficialesCastellano

    Considere el plano π de ecuación π: 2x + ay − 2z = −4 y la recta r dada por

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  9. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2023 · Ejercicio A2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sean la recta r y el plano π, que se cortan perpendicularmente en el punto P(1, −1, 2). Si el plano π pasa por el punto Q(1, 2, 3) y contiene al vector (0, 0, 2), calcula las ecuaciones de la recta r y del plano π.

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Ordinaria 2023

  1. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2023 · Problema 3

    Criterios oficialesCatalán

    Considera el pla π : 2x + 3y + z − 6 = 0.

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  2. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2023 · Problema 4

    Criterios oficialesCatalán

    Siguin a i b dues constants reals no nul·les. Considerem el pla π : x + ay − 2z = 3 i la recta

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  3. CAN

    Canarias · Ordinaria 2023 · Pregunta 3B

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:

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  4. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2023 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triángulo que tiene como vértices a los puntos A = (0, 0, 1), B = (4, 1, 2) y C = (3, 4, 3).

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  5. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2023 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    Considere los planos

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  6. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2023 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    Sean el punto A(1, 1, a) y el plano π ≡ b · x + y + z = 1, con a, b ∈ ℝ.

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  7. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2023 · Ejercicio 6

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1 punto] Calcula el siguiente límite:

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  8. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2023 · Ejercicio 8

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1,25 puntos] Sea la matriz

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  9. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2023 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Determina la posición relativa de la recta

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  10. MUR

    Murcia · Ordinaria 2023 · Cuestión 6

    Criterios oficialesCastellano

    Considere el plano π de ecuación π: 3x − y − 2z = 5 y la recta r dada por

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  11. PV

    País Vasco · Ordinaria 2023 · Ejercicio B2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sean r la recta cuya ecuación continua es: x − 1 1 = y − 1 −1 = z − 1 2 , los planos de ecuaciones π 1 ≡ x + y + z = 1 y π 2 ≡ x + y − z = 1, P 1 el punto de corte de la recta r con el plano π 1 y P 2 el punto de corte de la…

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Extraordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 7 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Considera las rectas r ≡ x + 1 = y − a = −z y

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  2. AST

    Asturias · Extraordinaria 2022 · Bloque 3.B

    Resuelto aquíCastellano

    Dados los puntos A = (1, 0, 1), B = (1, 6, 1), C = (−2, −1, 5) y E = (−1, 1, 1).

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  3. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2022 · Cuestión 5

    Criterios oficialesCatalán

    Sigui a un paràmetre real. Considerau el pla π ≡ 3x − 2y − z = 4, el punt P(1, 1, 0) i la recta

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  4. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2022 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:

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  5. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2022 · Pregunta 3B

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes:

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  6. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    Los puntos A = (0, −1, 1), B = (1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta r que pasa por el punto B y es perpendicular al plano π = 2x − y + z = 1.

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  7. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2022 · Ejercicio E3

    Resuelto aquíCastellano

    a) Calcule el plano que pasa por el punto (1, 0, 1) y es paralelo a los vectores u⃗ = (1, 1, 1) y v⃗ = (1, 2, 3). (1,5 puntos)

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  8. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2022 · Ejercicio E4

    Resuelto aquíCastellano

    a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano α ≡ x − y = 0, es paralela al plano β ≡ 2x − 3y + z = 4 y pasa por el punto P = (1, 1, 3). (1 punto)

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  9. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2022 · Problema 3

    Criterios oficialesCastellano

    Dados los puntos A = (2, 0, 0) y B = (0, 1, 0), y la recta s: x − 12 = y − 13 = z:

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  10. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2022 · Pregunta 6

    Resuelto aquíGallego

    Xeometría (2 puntos)

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  11. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2022 · Cuestión 5

    Criterios oficialesCastellano

    Considere el plano π de ecuación π: x + y + z = 1 y la recta r dada por

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  12. MUR

    Murcia · Extraordinaria 2022 · Cuestión 6

    Criterios oficialesCastellano

    Considere las rectas r y s dadas por

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  13. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Determina según los valores del parámetro real a la posición relativa de la recta

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  14. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 8

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Estudia según los valores del parámetro real a la posición relativa de las rectas siguientes:

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  15. NAV

    Navarra · Extraordinaria 2022 · Problema 3

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula la ecuación general del plano π perpendicular al plano α ≡ 2x − y − z − 1 = 0, sabiendo que contiene al punto P(−1, 2, 1) y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:

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  16. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2022 · Ejercicio A2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sea la recta de ecuación:

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  17. PV

    País Vasco · Extraordinaria 2022 · Ejercicio B2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta:

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Ordinaria 2022

  1. AND

    Andalucía · Ordinaria 2022 · Ejercicio 8 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    (2,5 puntos) Considera la recta r ≡ x − 2 = y−1 = z − 12, así como la recta s determinada por el punto P(1, 2, 3) y el vector director v⃗ = (1 + a, −a, 3a).

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  2. ARA

    Aragón · Ordinaria 2022 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    a) (1 punto) Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas r1 y r2, y además pasa por el punto (−1, 2, 1), siendo

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  3. AST

    Asturias · Ordinaria 2022 · Bloque 3.A

    Resuelto aquíCastellano

    Sea r la recta que pasa por los puntos A = (1, 0, 1) y B = (2, 1, 2) y s la recta s ≡ x − 21 = y − 2−1 = z1.

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  4. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2022 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCatalán

    Donades les rectes

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  5. CAN

    Canarias · Ordinaria 2022 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

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  6. CAN

    Canarias · Ordinaria 2022 · Pregunta 3B

    Resuelto aquíCastellano

    En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:

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  7. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2022 · Ejercicio 3

    Resuelto aquíCastellano

    Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Considere el triángulo de vértices A = (−1, 2, 3), B = (3, −4, 1), C = (1, −4, 5).

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  8. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2022 · Ejercicio 4

    Resuelto aquíCastellano

    Sean las rectas

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  9. CLM

    Castilla-La Mancha · Ordinaria 2022 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    a) [1,25 puntos] Sean los vectores u⃗ = (1, 1, 1) y v⃗ = (1, 0, 1). Calcula el plano que pasa por el punto A = (0, 0, 1) y con vector normal el producto vectorial de u⃗ y v⃗.

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  10. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2022 · Ejercicio E3

    Resuelto aquíCastellano

    a) Dada la recta r ≡ x − 12 = y + 21 = z + 14 y el plano π ≡ 2x + y + mz = 0, calcule m para que la recta y el plano sean perpendiculares. (1 punto)

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  11. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 2 · Problema 3

    Resuelto aquíCatalán

    Sigui la recta r definida per l'expressió següent:

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  12. CAT

    Cataluña · Ordinaria 2022 · Serie 5 · Problema 5

    Resuelto aquíCatalán

    Siguin els punts A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (−1, −1, 1) i D = (1, 0, 1).

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  13. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2022 · Problema 3

    Criterios oficialesCastellano

    Dadas las rectas

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  14. EXT

    Extremadura · Ordinaria 2022 · Pregunta 4

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la recta r definida por

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  15. GAL

    Galicia · Ordinaria 2022 · Pregunta 5

    Resuelto aquíGallego

    Xeometría (2 puntos)

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  16. GAL

    Galicia · Ordinaria 2022 · Pregunta 6

    Resuelto aquíGallego

    Xeometría (2 puntos)

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  17. MUR

    Murcia · Ordinaria 2022 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCastellano

    Considere las siguientes rectas:

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  18. MUR

    Murcia · Ordinaria 2022 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCastellano

    Considere los puntos A = (1, −1, 2) y B = (3, 5, 2).

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  19. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2022 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Halla la ecuación de una recta paralela al plano π ≡ x + y + z = 0 y que contenga al punto P(1, 0, 1). ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.

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  20. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2022 · Ejercicio 8

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Determina los valores de los parámetros a y b para que el plano π contenga a la recta r, donde:

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  21. NAV

    Navarra · Ordinaria 2022 · Problema 3

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto T ≡ (1, −5, 3) y corta a las siguientes rectas:

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  22. NAV

    Navarra · Ordinaria 2022 · Problema 4

    Resuelto aquíCastellano

    Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P ≡ (1, 2, −1), es paralela al plano π ≡ 2x − y + z = 0 y corta a la recta:

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Extraordinaria 2021

  1. ARA

    Aragón · Extraordinaria 2021 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, −2, 0) y es perpendicular al plano determinado por los puntos (1, 0, 1), (3, 1, 0) y (2, −1, 1). Exprésela como intersección de dos planos.

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  2. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2021 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCatalán

    Donades les rectes

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  3. BAL

    Islas Baleares · Extraordinaria 2021 · Cuestión 6

    Criterios oficialesCatalán

    Donats els punts

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  4. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2021 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

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  5. CAN

    Canarias · Extraordinaria 2021 · Pregunta 3B

    Resuelto aquíCastellano

    Dado el plano π: −x + 3y + 2z + 5 = 0 y las rectas secantes

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  6. CNT

    Cantabria · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    Ejercicio 7 [2.5 PUNTOS] Considera los puntos A = (2, 1, 5), B = (3, 4, 1) y la recta r = { x = 3 − λ; y = 4 − 3λ; z = 1 − 4λ }.

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  7. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2021 · Ejercicio E3

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las rectas r ≡ x = y + 1 = z − 22 y s ≡ { x − y + 3 = 0; 2x − z + 3 = 0 }, se pide:

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  8. CYL

    Castilla y León · Extraordinaria 2021 · Ejercicio E4

    Resuelto aquíCastellano

    Dada la recta r ≡ x − 1 = y − 2−1 = z − 12

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  9. CV

    Comunidad Valenciana · Extraordinaria 2021 · Problema 2

    Criterios oficialesCastellano

    Se dan las rectas

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  10. GAL

    Galicia · Extraordinaria 2021 · Pregunta 5

    Resuelto aquíCastellano

    Geometría (2 puntos)

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  11. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta, tal que:

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  12. RIO

    La Rioja · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 8

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Calcular el valor del parámetro real a para que las rectas r y s se corten y calcular este punto.

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Ordinaria 2021

  1. AND

    Andalucía · Ordinaria 2021 · Ejercicio 7 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

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  2. AND

    Andalucía · Ordinaria 2021 · Ejercicio 8 (bloque B)

    Resuelto aquíCastellano

    EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

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  3. ARA

    Aragón · Ordinaria 2021 · Pregunta 8

    Resuelto aquíCastellano

    Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto A = (0, 1, 1) y es paralela a los planos: π1 que contiene los puntos B1, B2, B3, y π2 ≡ x + 2z = 1, siendo:

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  4. BAL

    Islas Baleares · Ordinaria 2021 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCatalán

    Donades les rectes

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  5. CAN

    Canarias · Ordinaria 2021 · Pregunta 3A

    Resuelto aquíCastellano

    Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional: A(0, −2, 3), B(1, −1, 4), C(2, 3, 3) y D(4, 5, 5).

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  6. CAN

    Canarias · Ordinaria 2021 · Pregunta 3B

    Resuelto aquíCastellano

    Dadas las ecuaciones de los planos

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  7. CNT

    Cantabria · Ordinaria 2021 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    Ejercicio 7 [2.5 PUNTOS] Considera el plano Π = 2x + 3y − 4z = 10 y los puntos A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 3).

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  8. CYL

    Castilla y León · Ordinaria 2021 · Ejercicio E4

    Resuelto aquíCastellano

    Dados la recta r ≡ x + 1−1 = y − 21 = z−2 y el punto P = (0, 0, 0), hallar la ecuación del plano π que contiene a r y pasa por el punto P. (2 puntos)

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  9. CV

    Comunidad Valenciana · Ordinaria 2021 · Problema 2

    Criterios oficialesCastellano

    Se dan los planos π1: x + y + z = a − 1, π2: 2x + y + az = a y π3: x + ay + z = 1.

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  10. GAL

    Galicia · Ordinaria 2021 · Pregunta 6

    Resuelto aquíCastellano

    Geometría (2 puntos)

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  11. RIO

    La Rioja · Ordinaria 2021 · Ejercicio 7

    Resuelto aquíCastellano

    (2 puntos) Hallar la ecuación de una recta, tal que:

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  12. MUR

    Murcia · Ordinaria 2021 · Cuestión 5

    Resuelto aquíCastellano

    Considere los planos de ecuaciones π1 : x − y + z = 0 y π2 : x + y − z = 2.

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  13. MUR

    Murcia · Ordinaria 2021 · Cuestión 6

    Resuelto aquíCastellano

    En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

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  14. PV

    País Vasco · Ordinaria 2021 · Ejercicio A2

    Criterios oficialesCastellano

    (2,5 puntos) Sean r la recta que pasa por los puntos A = (1, a, −1) y B = (b, 1, 1) y π el plano de ecuación x + y − 2z = 2b.

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