La integral definida

El área bajo una curva y las sumas de Riemann

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Queremos el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = a y x = b, con f continua y positiva en [a, b]. La idea es aproximarla con rectángulos y hacerlos cada vez más estrechos.

Propiedades y teorema del valor medio

Hoja 2 de 7

Propiedades

Para f y g integrables en [a, b] y k ∈ ℝ:

Teorema fundamental del cálculo

Hoja 3 de 7

Si fijamos a y dejamos mover el límite superior, la integral se convierte en una función de x, la función área o función integral:

Regla de Barrow

Hoja 4 de 7

Si f es continua en [a, b] y G es cualquier primitiva de f,

Área entre una curva y el eje OX

Hoja 5 de 7

El área es siempre positiva, pero la integral resta donde la función es negativa. Por eso no basta con integrar de a a b: hay que separar los trozos donde f cambia de signo.

Área entre dos curvas y volúmenes de revolución

Hoja 6 de 7

El área entre las gráficas de f y g, entre x = a y x = b, es

Problemas tipo PAU: parámetros y recintos descritos con palabras

Hoja 7 de 7

Hallar un parámetro conocida el área

Se hace igual que un problema de área, pero con la letra: cortes, integral en función del parámetro y, al final, una ecuación. Hay que comprobar que la solución cumple las condiciones del enunciado.