Aplicaciones de las derivadas

Monotonía y extremos relativos

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Crecimiento y decrecimiento

• Si f′(x) > 0 en todo un intervalo, f es creciente en él.
• Si f′(x) < 0 en todo un intervalo, f es decreciente en él.

Los puntos críticos (o singulares) son los que tienen f′(x) = 0: la tangente es horizontal en ellos. Los extremos relativos de una función derivable solo pueden estar ahí.

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

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Teorema de Weierstrass. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en él un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

Curvatura y puntos de inflexión

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• Si f″(x) > 0 en un intervalo, f es convexa (∪) en él: la gráfica queda por encima de las tangentes.
• Si f″(x) < 0, f es ahí cóncava (∩): la gráfica queda por debajo de las tangentes.

Un punto de inflexión es un punto del dominio donde f es continua y cambia la curvatura. Si f″ existe, tiene que ser f″(a) = 0.

Parámetros a partir de condiciones

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Es uno de los problemas más frecuentes de la PAU: se da f con coeficientes desconocidos y unas cuantas propiedades. Cada propiedad se traduce en una ecuación, y hacen falta tantas ecuaciones como incógnitas.

Optimización

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Método completo

1. Incógnitas. Pon nombre a las magnitudes (si hace falta, con un dibujo) e indica las unidades.
2. Función objetivo. Escribe la cantidad que hay que hacer máxima o mínima en función de las incógnitas.
3. Relación. Con la condición del enunciado, despeja una incógnita y sustitúyela: la función tiene que depender de una sola variable.
4. Dominio. Qué valores tiene sentido que tome la variable (longitudes positivas, x < 25…).
5. Derivada igual a 0 y soluciones que están dentro del dominio.
6. Justificación de que es máximo o mínimo: con f″, con el signo de f′ o comparando con los extremos del intervalo si es cerrado.
7. Respuesta a la pregunta, con todas las magnitudes que piden y las unidades.

Ejemplo: valla mínima

Se quiere vallar un terreno rectangular de 800 m² junto a una pared, que hace de cuarto lado. ¿Qué dimensiones usan el mínimo de valla?

Teoremas de Rolle y del valor medio

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Teorema de Rolle

Si f es

Regla de L'Hôpital

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Si lim_x→a f(x) y lim_x→a g(x) son los dos 0, o los dos ±∞, f y g son derivables cerca de a (con g′(x) ≠ 0, excepto quizá en x = a) y existe el límite del cociente de derivadas, entonces